Áp dụng BĐT  AM-GM ta có :

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}\)

\(=\frac{9}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Mặt khác theo BĐT  AM-GM  có :

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left(\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)^3}{3}\right)=27\)

\(\Rightarrow\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\ge a^2+b^2+c^2\)

Đặt  \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{81}{9}.3=\frac{10}{3}\)

Vậy \(MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=-1\)

Sửa lại chút  , vội quá nên đánh lỗi .

Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8t}{9}\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)

\(\Rightarrow MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

tính hộ 1 chia 0 nha

đặt x = a; y = b/2; z = c/3. khi đó ta có \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\le1.\)

quy đồng, nhân chéo ta được (1+x)(1+y) + (1+y)(1+z) + (1+z)(1+x) \(\le\)(1+x)(1+y)(1+z).

nhân phá ngoặc, rút gọn ta được x + y + z + 2 \(\le\)xyz. (1)

mặt khác ta có \(1\ge\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{\left(1+x\right)+\left(1+y\right)+\left(1+z\right)}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\)

nên x+ y + z \(\ge\)6 (2)

từ (1) và (2) suy ra xyz \(\ge\)8 hay S = abc \(\ge\)48.

dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = 2; b = 4; c = 6.

vậy Min S = 48.

hình như cái BĐT ở dưới chỗ "Mặc khác ta có" sai

à nhầm sr

Bài 1:

\(A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

Đẳng thức xảy ra khi a =b=c=1/3

Bài 2:Buồn ngủ rồi, chắc để đó cho anh Lâm.

Câu 2 có cho a; b dương ko? Nếu cho dương thì đỡ phải xét thêm 1 trường hợp, còn ko cho gì thì xét 2 trường hợp hơi dài

Xét chung luôn a; b ko cần dương

ĐKXĐ: \(a;b\ne0\)

\(A=3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2-2\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-6\)

Đặt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x\Rightarrow x^2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x\ge2\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x\le-2\)

\(A=3x^2-8x-6=\left(x+2\right)\left(3x-14\right)+22\)

Do \(x\le-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2\le0\\3x-14< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x+2\right)\left(3x-14\right)\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge22\)

TH2: \(x\ge2\)

\(A=3x^2-8x-6=\left(x-2\right)\left(3x-2\right)-10\)

Do \(x\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\3x-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(3x-2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge-10\)

So sánh \(-10\) và \(22\Rightarrow A_{min}=-10\) khi \(x=2\) hay \(a=b\)

Nếu a; b dương thỉ chỉ cần TH2

Ta có P=\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)

Mà \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1\)

Vậy P min = 1 <=> a=b=c=1/căn(3)

^^

ta có a^2+b^2+c^2=1

Mà a,b,c thuộc N

\(\Rightarrow\)TH1:a và b =0

TH2:b và c=0

TH3:c và a=0

nhưng \(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)có b,c,a là mẫu

Do đó không có P