@Akai Haruma

\(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\left(1\right)\)

ĐK: \(c\ge0\)

Đặt: \(y=x+\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+a=y+\dfrac{a-b}{2}\\x+b=y-\dfrac{a-b}{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt: \(\dfrac{a-b}{2}=m\)

\(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\)

\(\Leftrightarrow\left(y+m\right)^4+\left(y-m\right)^4=c\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(y+m\right)^2+\left(y-m\right)^2\right]^2-2\left(y+m\right)^2.\left(y-m\right)^2=c\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2+2m^2\right)^2-\left(2y^2-2m^2\right)^2=c\)

\(\Leftrightarrow4y^4+8y^2m^2+4m^4-2y^4+4y^2m^2-2m^4=c\)

\(\Leftrightarrow2y^4+12y^2m^2+2m^4=c\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2m^2+m^4-\dfrac{c}{2}=0\)

Đặt: \(t=y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow t^2+6m^2t+m^4-\dfrac{c}{2}=0\left(2\right)\)

Ta có: \(\Delta'=8m^4+\dfrac{c}{2}\ge0\Rightarrow\) phương trình (2) luôn có nghiệm

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

\(t_1+t_2=-6m^2\le0\) \(\forall m\in R\Rightarrow\) Phương trình 2 không thể có 2 nghiệm cùng mang dấu dương

Để phương trình 1 có nghiệm thì \(t_1,t_2\) không thể cùng mang dấu âm

\(\Rightarrow\) Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có ít nhất 1 nghiệm bằng 0

\(\Leftrightarrow m^4-\dfrac{c}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow c\ge2m^4\Rightarrow c\ge2\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^4=\dfrac{\left(a-b\right)^4}{8}\)

Vậy với \(c\ge\dfrac{\left(a-b\right)^4}{8}\) phương trình (1) có nghiệm.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi và

suy ra b và c không đồng thời bằng 0.

)

Vì

Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.

a.

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi:

\(ac< 0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-4\right)< 0\)

\(\Rightarrow1< m< 4\)

b. 

Phương trình có 2 nghiệm dương khi (ko có chữ phân biệt?):

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-3\right)^2-\left(m-1\right)\left(m-4\right)\ge0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-3\right)}{m-1}>0\\x_1x_2=\dfrac{m-4}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\le5\\\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>4\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 1\\4< m\le5\end{matrix}\right.\)

c.

Phương trình có 2 nghiệm âm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-3\right)^2-\left(m-1\right)\left(m-4\right)\ge0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-3\right)}{m-1}< 0\\x_1x_2=\dfrac{m-4}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\le5\\1< m< 3\\\left[{}\begin{matrix}m>4\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

\(\Leftrightarrow3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ca=0\)

Pt có nghiệm kép khi và chỉ khi:

\(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)

a Để hpt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-2;3\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2+3m=4\\-2n+3=-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=6\\-2n=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=2\end{matrix}\right.\)

b Để hpt có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{n}=\dfrac{m}{1}=\dfrac{4}{-3}\) \(\left(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\right)\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{n}=-\dfrac{4}{3}\\m=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\dfrac{4}{3}\\n=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Đặt S=x+y, P=x.y
Ta có:S=2a-1, x^2+y^2=S^2-2P=a^2+2a-3
\Rightarrow P=\frac{1}{2}[(2a-1)^2-(a^2+2a-3)]=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4)
Trước hết tìm a để hệ có nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm:S^2-4P \geq 0 \Leftrightarrow (2a-1)^2-2(3a^2-6a+4)\geq 0
\Leftrightarrow -2a^2+8a-7 \geq 0 \leftrightarrow 2-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq a \leq 2+\frac{\sqrt{2}}{2}      (1)
Tìm a để P=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
        [2-\frac{\sqrt{2}}{2} ;2+\frac{\sqrt{2}}{2}]
Ta có hoành độ đỉnh a_0=\frac{6}{2.3}=1Parabol có bề lõm quay lên do đó \min P=P(2-\frac{\sqrt{2}}{2} )$
Vậy với a=2-\frac{\sqrt{2}}{2}  thì xy đạt giá trị nhỏ nhất.

\(a,\Leftrightarrow\Delta'\ge0\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-\left(m^2-4\right)\ge0\\ \Leftrightarrow m^2+4m+4-m^2+4\ge0\\ \Leftrightarrow4m+8\ge0\\ \Leftrightarrow m\ge-2\\ b,\Leftrightarrow\Delta'=0\Leftrightarrow m=-2\)