Cho các số x, y, z dương. CMR:\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\)\(\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Cho các số dương thỏa mãn:\(xy+yz+zx=3xyz\)
CMR: \(\frac{x^3}{z+x^2}+\frac{y^3}{x+y^2}+\frac{z^3}{y+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Ta có : \(\frac{x^3}{z+x^2}=\frac{x^3+xz-xz}{z+x^2}=x-\frac{xz}{z+x^2}\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\ge x-\frac{z+1}{4}\) (Cosi)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{x+y^2}\ge y-\frac{x+1}{4}\\\frac{z^3}{y+z^2}\ge z-\frac{y+1}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{z+x^2}+\frac{y^3}{x+y^2}+\frac{z^3}{y+z^2}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\)
Mà \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{z+x^2}+\frac{y^3}{x+y^2}+\frac{z^3}{y+z^2}\ge\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
bước cuối sai \(\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) trong khi \(3\le x+y+z\) ?? :D
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=xyz
CMR: \(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Trả lời
Từ giả thiết x+y+z=xyz <=> 1/xy + 1/yz + 1/zx = 1
Khi đó: x/1+x2 = \(\frac{1}{\frac{x}{\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)}}\)\(=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có:\(\frac{y}{1+y^2}=\frac{xyz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\)
\(\frac{z}{1+z^2}=\frac{xyz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)
Suy ra VT=\(\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
ĐPCM
Ta có:\(\frac{x}{1+x^2}=\frac{xyz}{yz+x^2yz}=\frac{xyz}{yz+x\left(xyz\right)}=\frac{xyz}{yz+x\left(x+y+z\right)}=\frac{xyz}{yz+x^2+xy+xz}=\frac{xyz}{y\left(x+z\right)+x\left(x+z\right)}\)
\(=\frac{xyz}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}\)
Chứng minh tương tự : \(\frac{2y}{1+y^2}=\frac{2xyz}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)
\(\frac{3z}{1+z^2}=\frac{3xyz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\)
Khi đó VT \(=\frac{xyz}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{2xyz}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{3xyz}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
\(=\frac{xyz\left[y+z+2\left(z+x\right)+3\left(x+y\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(đpcm\right)\)
( mình đang vội nên làm hơi tắt mong bạn thông cảm )
Cho 3 số dương, x, y z. CMR
\(\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
CÔSI ta có VT<=1/xy+1/zy+1/zx.
sau đó vẫn áp dụng bất đẳng thức cosi tùng đôi một vế phải đã cho ta sẽ đc điều phải chứng minh
CMR nếu \(x,y,z\) là các số dương thì \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z\ge\frac{x+y+z}{2}+x+y+z\)
\(\Rightarrow x\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+y\left(\frac{y}{x+z}+1\right)+z\left(\frac{z}{x+y}+1\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x\left(\frac{x+y+z}{y+z}\right)+y\left(\frac{y+x+z}{x+z}\right)+z\left(\frac{z+x+y}{x+y}\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\) (Theo BĐT Nesbitt )
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\) (đpcm)
cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1.CMR:
\(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{zx}{z^2+x^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{15}{4}\)
vì x+y+z=1nên
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)
nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)
dau = xay ra khi x=y=z=1/3
Cho các số x, y, z dương. Chmr:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{x^2}{y^2}+1+\frac{y^2}{z^2}+1+\frac{z^2}{x^2}+1\ge2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
cho các số thực dương x, y, z t/m \(x^2+y^2+z^2=3\)
CMR: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\). Đặt P = VT - VP.
(đây là phân tích của một người khác, không phải của em)
Do đó \(VT=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{9\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{27}{\sqrt{\left(x+y+z\right)^2.\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\frac{27}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)^2}}=\frac{9}{x+y+z}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
P/s: Em không chắc lắm!
Theo giả thiết: \(x^2+y^2+z^2=3\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2-3\)
Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta có:
\(VT=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}\)\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3}\)
Đến đây, ta cần chỉ ra rằng \(\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3}\ge\frac{9}{x+y+z}\)(*)
Ta có: \(xy+yz+zx>0\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2=3\)
\(\Rightarrow x+y+z>\sqrt{3}\)
Đặt \(x+y+z=t>\sqrt{3}\). Khi đó (*) trở thành \(\frac{2t^2}{t^2-3}\ge\frac{9}{t}\Leftrightarrow\frac{\left(t-3\right)^2\left(2t+3\right)}{t\left(t^2-3\right)}\ge0\)(đúng với mọi \(t>\sqrt{3}\))
Đẳng thức xảy ra khi \(t=3\)hay x = y = z = 1
Cho sửa dòng 5, \(\left(x+y+z\right)^2>x^2+y^2+z^2=3\)chứ không phải \(\ge\)nha!!!
Tự nhiên làm \(\ge\)xong suy ra \(x+y+z>\sqrt{3}\), dạo này hay nhầm kinh
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 3. CMR:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\)
áp dụng bđt Cô -si: x+y+z\(\ge3\sqrt[3]{xyz}\) với 3 số x,y,z không âm
ta có: \(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}\)(1)
tương tự: \(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\) (2)
\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)(3)
cộng (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge3.\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{9}{2}-\frac{3}{2}-\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Cho x,y,z >0. CMR: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)