Đặt A = 1 - 1/2² - 1/3² - 1/4² - ....... - 1/10²

=> A>1-1/2.3 - 1/3.4 - 1/4.5 - ........ - 1/10.11

=> A> 1 - (1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 + ..... + 1/10.11)

=> A> 1 - (1/2 -1/3 +1/3 - 1/4 + 1/4 -1/5+...+1/10-1/11)

=> A> 1 - (1/2 - 1/11)

=> A> 1 - 9/22

mà 9/22  < 1  nên (1 - 9/22) : dương

=> (1/9/22) > 0

=> A>0 (điều phải chứng minh)

\(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}>\frac{1}{2.3};.....;\frac{1}{10^2}>\frac{1}{9.10}\)

\(\Rightarrow1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-....-\frac{1}{10^2}>1-\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}-....-\frac{1}{9.10}\)

\(\Rightarrow1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-....-\frac{1}{10^2}>1-\left(1-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-...-\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\right)\)

\(\Rightarrow1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-....-\frac{1}{10^2}>1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-....-\frac{1}{9}+\frac{1}{10}=\frac{1}{10}>0\)

=>ĐPCM

A= 1 - ( \(\frac{1}{2^2}\)+  \(\frac{1}{3^2}\)+  \(\frac{1}{4^2}\)+...+  \(\frac{1}{10^2}\))
          ________________________________
                                     B
Vì \(\frac{1}{2^2}\)<  \(\frac{1}{1.2}\);....; \(\frac{1}{10^2}\)<  \(\frac{1}{9.10}\)
=> B < \(\frac{1}{1.2}\)+  \(\frac{1}{2.3}\)+...+  \(\frac{1}{9}\)-  \(\frac{1}{10}\)
=> B < \(\frac{1}{1}\)-  \(\frac{1}{2}\)+  \(\frac{1}{2}\)-  \(\frac{1}{3}\)+...+  \(\frac{1}{9}\)-  \(\frac{1}{10}\)= \(\frac{1}{1}\)-  \(\frac{1}{10}\)= \(\frac{9}{10}\)
=> A = 1-B > 1 - \(\frac{9}{10}\)> 0
=> A > 0 (  \(Đpcm\))
 

trong câu hỏi tương tự

sửa đề : S < 1

\(s< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+..................+\frac{1}{9.10}\)

\(\Leftrightarrow S< 1-\frac{1}{10}\)

vậy S < 1

Nhận xét:

\(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)

....

\(\frac{1}{10^2}<\frac{1}{10\times11}=\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)

Tính tổng ta có:

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{10^2}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}=\frac{1}{2}-\frac{1}{11}=\frac{9}{22}<1\)

đặt A=1/1.2+1/2.3+...+1/9.10

B=1/2^2+1/3^2+...+1/10^2

ta có:B=1/2^2+1/3^2+...+1/10^2<A=1/1.2+1/2.3+...+1/9.10

mà A=1/1.2+1/2.3+...+1/9.10

=1-1/2+1/2-1/3+...+1/9-1/10

=1-1/10<1

=>A<B<1

=>A<1

C2:\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{10^2}\)<\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{9.10}\)

=\(1-\frac{1}{10}=\frac{10}{10}-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}<1\)

=\(\frac{9}{10}<1=\frac{9}{10}<\frac{10}{10}\)

Vậy \(\frac{9}{10}<1\)

a.\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)

áp dụng công thức cho biểu thức A có A>\(2\left(-\sqrt{2}+\sqrt{26}\right)>7\left(1\right)\)

(so sánh bình phương 2 số sẽ ra nha)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-n+1}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

áp dụng công thức cho biểu thức A ta CM được

A<\(2\left(\sqrt{2}-\sqrt{2-1}+\sqrt{3}-\sqrt{3-1}+...+\sqrt{25}-\sqrt{25-1}\right)\)

=\(2\left(-\sqrt{1}+\sqrt{25}\right)=2\left(-1+5\right)=2\cdot4=8\left(2\right)\)

từ (1) và (2) => ĐPCM

b. tương tự câu a ta CM đc BT đã cho=B>\(2\sqrt{51}-2\)> \(5\sqrt{2}\left(1\right)\)

và B<\(2\sqrt{50}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot50}=10\sqrt{2}\left(2\right)\)

từ (1) và (2)=>ĐPCM

(bạn nhớ phải biến đổi 1 thành 1/\(\sqrt{1}\) trc khi áp dụng công thức nha)

MỜI BẠN THAM KHẢO