\(A=x^2-5x+7\)

\(=x^2-5x+\dfrac{25}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Với mọi x ta có :

\(\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow A>0\)

Vậy..

      \(2x^2+y^2+10x-4y\ge2xy-13\) (1)

\(\Leftrightarrow2x^2+y^2+10x-4y-2xy+13\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+4\left(x-y\right)+4+x^2+6x+9\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+2.\left(x-y\right).2+2^2+x^2+2.x.3+3^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-y+2\right)^2+\left(x+3\right)^2\ge0\)(2)

Ta thấy (2) luôn đúng mà \(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1\right)\)nên (1) luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}x-y+2=0\\x+3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}}}\)

$A=n\left[n^2{\left(n^2-7\right)}^2-36\right]=n\left[{\left(n^3-7n\right)}^2-36\right]$

$=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)$

$=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)$

$\Rightarrow A$ là tích 7 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 7

dê

A = [ n³(n²-7)²-36n ] ⋮ 7 với ∀n ϵ Z

Ta có: \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

+) \(P\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c⋮7\)

+) \(P\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c\)

mà \(c⋮7\)

=> a+b\(⋮7\)(1)

+) \(P\left(2\right)=a.2^2+b.2+c=4a+2b+c=2\left(2a+b\right)+c\)

mà c chia hết cho 7

=>2(2a+b) chia hết cho 7

=> 2a+b chia hết cho 7 vì (2,7)=1

=> a+(a+b) chia hết cho 7

=> a chia hết cho 7 vì a+b chia hết cho7

=> b chia hết cho 7

vầy a,b,c chia hết cho 7

ta có f(x)=ax\(^2\)+bx+c

tại x=0 =>f(0)=c\(⋮\)7(1)

x=1=>f(1)=a+b+c\(⋮\)7

mà c\(⋮\)7=>a+b\(⋮\)7(2)

x=-1=>f(-1)=a-b+c

mà c\(⋮\)7=>a-b\(⋮\)7(3)

từ (2)(3)có a+b+a-b=2a\(⋮\)7

mà 2;7=(1)

=>a\(⋮\)7(4)

từ (4)(3)ta có a-b\(⋮\)7

a\(⋮\)7

=>b\(⋮\)7(5)

từ (1)(4)(5)suy ra a,b,c\(⋮\)7

\(\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{\dfrac{4}{7}x_1+3-\dfrac{4}{7}x_2-3}{x_1-x_2}=\dfrac{4}{7}>0\)

=>Hàm số đồng biến với mọi x

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh

\(a,\left(2x-3\right)n-2n\left(n+2\right)\)

\(=n\left(2x-3-2n-4\right)\)

\(=-7n\)

Vì \(-7⋮7\Rightarrow-7n⋮7\) => ĐPCM

\(b,n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(2n-3-2n-2\right)\)

\(=-5n⋮5\) (ĐPCM)

Rút gọn

\(a,\left(3x-5\right)\left(2x+11\right)-\left(2x+3\right)\left(3x+7\right)\)

\(=6x^2+33x-10x-55-6x^2-14x-9x-21\)

\(=-76\)

\(b,\left(x+2\right)\left(2x^2-3x+4\right)-\left(x^2-1\right)\left(2x+1\right)\)

\(=2x^3-3x^2+4x+4x^2-6x+8-2x^3-x^2+2x+1\)

\(=9\)

\(c,3x^2\left(x^2+2\right)+4x\left(x^2-1\right)-\left(x^2+2x+3\right)\left(3x^2-2x+1\right)\)

\(=3x^4+6x^2+4x^3-4x-3x^4+2x^3-x^2-6x^3+4x^2-2x-9x^2+6x-3\)

= -3