Giải thích các bước giải:

a. N là trung điểm AC; P là trung điểm CH⇒NP là đường trung bình của ΔACH ⇒NP || AH và NP=AH/2

tương tự: MQ là đường trung bình ΔABH ⇒MQ || AH và MQ=AH/2 

⇒MQ || NP (cùng || AH)

b. theo câu a⇒NP và MQ ⊥ BC (vì AH ⊥ BC) 

M là trung điểm AB, N là trung điểm AC⇒MN là đường trung bình ΔABC

⇒MN || BC và MN=BC/2⇒MN ⊥ MQ và MN ⊥ NP 

⇒MNPQ là hình chữ nhật

c. để MNPQ là hình vuông ⇔MN=MQ=NP=QP 

mà MQ=AH/2  và  MN=BC/2 ⇒AH=BC 

a. N là trung điểm AC; P là trung điểm CH⇒NP là đường trung bình của ΔACH ⇒NP || AH và NP=AH/2

tương tự: MQ là đường trung bình ΔABH ⇒MQ || AH và MQ=AH/2 

⇒MQ || NP (cùng || AH)

b. theo câu a⇒NP và MQ ⊥ BC (vì AH ⊥ BC) 

M là trung điểm AB, N là trung điểm AC⇒MN là đường trung bình ΔABC

⇒MN || BC và MN=BC/2⇒MN ⊥ MQ và MN ⊥ NP 

⇒MNPQ là hình chữ nhật

c. để MNPQ là hình vuông ⇔MN=MQ=NP=QP 

mà MQ=AH/2  và  MN=BC/2 ⇒AH=BC 

a, Vì M,N là trung điểm AB,AC nên MN là đtb tg ABC

Do đó MN//BC hay BMNC là hthang

b, Vì N là trung điểm AC và ME(tc đối xứng) nên AECM là hbh

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//BC

b: Xét tứ giác BMNC có MN//BC

nên BMNC là hình thang

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

nên BMNC là hình thang cân

\(1,\left\{{}\begin{matrix}AM=MB\\AN=NC\end{matrix}\right.\Rightarrow MN\) là đtb \(\Delta ABC\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC.hay.2MN=BC\)

\(2,\) Vì \(MN//BC\left(t/c.đtb\right)\Rightarrow MNCB\) là hình thang

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(\Delta ABC.cân\right)\)

\(\Rightarrow MNCB\) là hthang cân

\(3,\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MNO}=\widehat{OCB}\\\widehat{NMO}=\widehat{OBC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta MNO\sim\Delta COB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{MO}{OC}\Rightarrow\dfrac{2MI}{2CK}=\dfrac{MO}{OC}\Rightarrow\dfrac{MI}{CK}=\dfrac{MO}{OC}\)

Lại có \(\widehat{IMO}=\widehat{OCK}\left(so.le.trong\right)\)

\(\Rightarrow\Delta IMO\sim\Delta KCO\left(c.g.c\right)\)

Do đó \(\widehat{MOI}=\widehat{KOC}\Rightarrow I;O;K\) thẳng hàng \(\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được \(\Delta MAI\sim\Delta BAK\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{BHF}\Rightarrow A;I;K\) thẳng hàng \(\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow A;I;O;K\) thẳng hàng 

1) Xét ΔABC cân tại A, có:

M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình ΔABC

⇒ MN = 1/2BC ⇒ BC = 2MN (ĐPCM)

2) Xét tứ giác MNCB, có:

MN // BC(MN là đường trung bình)

MB = NC (do AB = AC và M, N là trung điểm AB, AC)

⇒ MNCB là hình thang.

mà:

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (do ΔABC cân tại A)

⇒ MNCB là hình thang cân.

d. Xét ΔAMN, có:

\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) (đồng vị so với \(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\))

⇒ ΔAMN cân tại A, mà AI ⊥ MN (do MN là cạnh đáy, I là trung điểm MN) ⇒ A,I thẳng hàng 

Chứng minh tương tự cho tam giác ABC với BC là cạnh đáy có K là trung điểm, ta được A, I, K thẳng hàng (1)

Có ΔMON cân, do \(\widehat{ONM}=\widehat{OMN}\) vì \(\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\) ⇒ OI thẳng hàng do I là trung điểm cạnh đáy MN của tam giác cân. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A, I, O, K thẳng hàng.

a) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra:MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay \(BC=2\cdot MN=2\cdot8=16\left(cm\right)\)

b) Xét tứ giác BMNC có MN//BC(cmt)

nên BMNC là hình thang(Định nghĩa hình thang)

Hình thang BMNC có \(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔABC cân tại A)

nên BMNC là hình thang cân

Sửa đề: F là hình chiếu của E trên AC

a: Xét ΔCAB có

E là trung điểm của CB

EF//AB

=>F là trung điểm của AC

Xét ΔCAB có

E là trung điểm của CB

ED//AC

=>D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có EF//AB

nên EF/Ab=CE/CB=1/2

=>EF=1/2AB=DB

Xét tứ giác BDFE có

FE//BD

FE=BD

=>BDFE là hình bình hành

b: Xét ΔABC có AD/AB=AF/AC

nên DF//BC

=>DF//EH

ΔHAC vuông tại H có HF là trung tuyến

nên HF=AC/2

=>HF=ED
Xét tứ giác EHDF có

EH//DF

ED=HF

=>EHDF là hình thang cân

c: Xét tứ giác ABCN có

F là trung điểm chung của AC và BN

=>ABCN là hình bình hành

=>AN//CB

Xét tứ giác AMCE có

F là trung điểm chung của AC và ME

=>AMCE là hình bình hành

=>AM//CE

=>AM//CB

mà AN//CB

nên A,N,M thẳng hàng

a/ M, N là trung điểm của AB, AC ⇒ MN là đường trung bình của △ABC, MN // BC (1)

Vậy: MNCB là hình thang (đpcm)

==========

b/ Do MN là đường trung bình của △ABC

Vậy: \(MN=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow BC=MN.2=3,5.2=7cm\)

==========

c/ Do E là trung điểm của BC \(\Rightarrow CE=\dfrac{BC}{2}\)

- Mà \(MN=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow MN=CE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2). Vậy: MNCE là hình bình hành (đpcm)