P(x)=0

=>P(3)=0

=>P((3))=0

Với x = 0, ta có (0) = Q(0) + Q(1).            (/)

Với x = 1, ta có (1) = Q(1) + Q(0).            (**)

Từ (*) và (**) ta có: P(0) = P(1)

Giả sử P(x) = a_nx² + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a₁x¹ + a_o (a₁ là các số nguyên không âm; i = 1 -> n)

Vì P(1) = 0 nên: a_n + a_{n - 1} + ... + a₁ + a_o = 0

Mà: a_n; a_{n - 1}; ... ; a₁; a_o là các số nguyên không âm nên a_n = a_{n - 1} = .... = a₁ = a_o = 0

=> (x) = 0 => P(P(3))=0.

 Vì \(P\left(x\right)=Q\left(x\right)+Q\left(1-x\right)\)

+)\(x=0\) \(​​\implies\) \(P\left(0\right)=Q\left(0\right)+Q\left(1\right)=0\) 

+)\(x=1\) \(​​\implies\)  \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)+Q\left(0\right)\)

  \(​​\implies\) \(P\left(0\right)=P\left(1\right)=0\)

Đặt đa thức : P(x) = a_{n  .} \(x^n\)  + a_{n - 1} . \(x^{n-1}\)  + ...... + a₁ . \(x^1\) +  a₀

P(x) là đa thức bậc n ; có các hệ số là : a_n  ; a_{n - 1}; .... ; a₁ ; a₀ 

P(1) = a_{n +}  a_{n - 1}  +  ......... + a₁ + a₀ = 0 

Mà a₀ ; a₁  ; ..... ; a_{n - 1} ; a_n \(\geq\) 0

 \(​​\implies\)  a_n + a_{n - 1} + ... + a₁ + a_0 \(\geq\) 0

​​​\(​​\implies\)​  P(x) \(\geq\) 0

Dấu " = " xảy ra \(\iff\) a₀ = a₁  = ..... = a_{n - 1} = a_n = 0

  P(x) = 0 với mọi x \(\in\) R

 P(3) = 0 

 P(P(3)) = P(0) = 0

Vậy P(P(3)) = 0

 Vì \(P\left(x\right)=Q\left(x\right)+Q\left(1-x\right)\)

+)\(x=0\) \(\implies\) \(P\left(0\right)=Q\left(0\right)+Q\left(1\right)=0\) 

+)\(x=1\) \(\implies\)  \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)+Q\left(0\right)\)

 \(\implies\)  \(P\left(0\right)=P\left(1\right)=0\)

Đặt đa thức : P(x) = a_{n  .} \(x^n\)  + a_{n - 1} . \(x^{n-1}\)  + ...... + a₁ . \(x^1\) + a₀

P(x) là đa thức bậc n ; có các hệ số là : a_n  ; a_{n - 1}; .... ; a₁ ; a₀ 

P(1) = a_{n +}  a_{n - 1}  +  ......... + a₁ + a₀  = 0 

Mà a₀ ; a₁  ; ..... ; a_{n - 1} ; a_n  \(\geq\) 0

 \(\implies\)  a_n + a_{n - 1} + ... + a₁ + a₀  \(\geq\) 0 

 \(\implies\) P(x)  \(\geq\) 0

Dấu " = " xảy ra \(\iff\) a₀ = a₁  = ..... = a_{n - 1} = a_{n =}  0

_\(\implies\)  P(x) = 0 với mọi x \(\in\) R

\(\implies\) P(7) = 0 

\(\implies\) P(P(7)) = P(0) = 0

Vậy P(P(7)) = 0

P(x) = (x - a) (x- a - 2015). g(x) => P(x) chẵn với mọi x

Q(x) = (x - 2014) h(x) + 2016 -> Q(P(x)) = (P(x) - 2014 ).H(P(x)) + 2016 chia hết cho 2 nên Q(P(x) = 1 sẽ không thể có nghiêm nguyên