áp dụng nè \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)

bđt đó dễ CM nha,,,,dùng hằng đẳng thức 1 là CM đc

Tìm điều gì của M bạn?

Mình nghĩ là tìm Min, Max \(M=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\).

Tìm Min: Ta có \(M^2\ge a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\).

Do đó \(M\geq\sqrt{2}\).Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0; c = 1.

Tìm Max: Ta có \(M\le\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\le\sqrt{6\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\sqrt{6\sqrt{3}}=\sqrt[4]{108}\).

Áp dụng bđt \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) 

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)

C/m tương tự \(\sqrt{b^2+c^2}\ge\frac{b+c}{\sqrt{2}}\)

                        \(\sqrt{a^2+c^2}\ge\frac{a+c}{\sqrt{2}}\)

Cộng 3 vế của 3 bđt trên lại được

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Dấu "=" tại a = b = c = ¹/₃

cảm ơn bạn nhiều nha