a) Vì AE = FA ( gt)

=> ∆AEF cân tại A 

=> AEF = \(\frac{180°\:-\:BAC}{2}\)

Vì ∆ABC cân tại A 

=> ABC = \(\frac{180°\:-\:BAC}{2}\)

=> ABC = AEF 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

=> FE//BC 

=> FEBC là hình thang

Mà ∆ABC cân tại A 

=> ABC = ACB 

=> FEBC là hình thang cân (dpcm)

b) Vì ∆ABC cân tại A 

=> AB = AC 

Mà AE = FA 

=> EB = FC 

Mà FEBC là hình thang cân 

=> EC = FB ( tính chất) 

Xét ∆ECB và ∆FBC ta có : 

BC chung 

EC = FB 

ABC = ACB 

=> ∆ECB = ∆FBC (c.g.c)

=> BEC = CFB ( tương ứng) 

Xét ∆EIB và ∆FIC ta có : 

EB = FC (cmt)

BEC = CFB (cmt)

EIB = FIC ( đối đỉnh) 

=> ∆EIC = ∆FIC (g.c.g)

=> IB = IC ( tương ứng) 

=> ∆IBC cân tại I 

=> IBC = ICB

Vì M là trung điểm IB 

N là trung điểm IC 

=> MN là đường trung bình ∆IBC 

=> MN //BC 

=> MNCB là hình thang 

Mà IBC = ICB (cmt)

=> MNCB là hình thang cân 

a) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra:MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay \(BC=2\cdot MN=2\cdot8=16\left(cm\right)\)

b) Xét tứ giác BMNC có MN//BC(cmt)

nên BMNC là hình thang(Định nghĩa hình thang)

Hình thang BMNC có \(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔABC cân tại A)

nên BMNC là hình thang cân

a) Xét tam giác MNP:

+ B là trung điểm MN (gt).

+ C là trung điểm MP (gt).

→ BC là đường trung bình.

→ BC // NP (Tính chất đường trung bình).

Xét tứ giác NBCP: BC // NP (cmt).

→ Tứ giác NBCP là hình thang (dhnb).

b) Xét tứ giác MANE:

+ B là trung điểm của MN (gt).

+ B là trung điểm của ED (E là điểm đối xứng của A qua B).

→ Tứ giác MANE là hình bình hành (dhnb).

Mà \(\widehat{MAN}=90^o\) \(\left(MA\perp NP\right).\)

→ Tứ giác MANE là hình chữ nhật (dhnb).

a) Xét tam giác MNP:

+ B là trung điểm MN (gt).

+ C là trung điểm MP (gt).

\(\rightarrow\) BC là đường trung bình.

\(\rightarrow\) BC // NP (Tính chất đường trung bình).

Xét tứ giác NBCP: BC // NP (cmt).

\(\rightarrow\) Tứ giác NBCP là hình thang (dhnb).

b) Xét tứ giác MANE:

+ B là trung điểm của MN (gt).

+ B là trung điểm của ED (E là điểm đối xứng của A qua B).

\(\rightarrow\) Tứ giác MANE là hình bình hành (dhnb).

Mà \(\widehat{MAN}=90^o\left(MA\perp NA\right).\)

\(\rightarrow\) Tứ giác MANE là hình chữ nhật (dhnb).

c) Xét tam giác MNP:

+ C là trung điểm MP (gt).

+ D là trung điểm NP (gt).

\(\rightarrow\) CD là đường trung bình.

\(\rightarrow\) CD // MN (Tính chất đường trung bình).

\(\rightarrow\) \(\widehat{CDP}=\widehat{ANM}\) (Đồng vị).

Mà \(\widehat{ANM}=\widehat{BAN}\) (Tứ giác MANE là hình chữ nhật).

\(\rightarrow\) ​\(\widehat{CDP}=\widehat{BAN}.\)​

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của AC

Do đó: EF là đường trung bình

=>EF//BC