a. \(m-2\ge\left(2m-1\right)x-3\Leftrightarrow m+1\ge\left(2m-1\right)x\)

Với \(2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2},bpt\Leftrightarrow\frac{3}{2}\ge0\) đúng với mọi x.

Với \(2m-1>0\Rightarrow m>\frac{1}{2},bpt\Leftrightarrow x\le\frac{m+1}{2m-1}\)

Với \(2m-1< 0\Rightarrow m< \frac{1}{2},bpt\Leftrightarrow x\ge\frac{m+1}{2m-1}\)

Với \(m>\frac{1}{2},\) S = ( \(-\infty;\frac{m+1}{2m-1}\)]

Vậy với \(m=\frac{1}{2}\Rightarrow S=R.\)

Với \(m< \frac{1}{2},\)S = [ \(\frac{m+1}{2m-1};+\infty\))

b. \(bpt\Leftrightarrow\frac{\left(ax+1\right)\left(a+1\right)-\left(ax-1\right)\left(a-1\right)}{a^2-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2ax+2a}{a^2-1}>0\)

Với a > 1 thì \(a^2-1>0\Rightarrow ax+a>0\Rightarrow x+1>0\Rightarrow x>-1\forall a>1\)

Vậy với a > 1 thì bpt luôn có tập nghiệm \(S=\left(-1;+\infty\right)\)

Ta có :

a( ax +b ) = \(b^2\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow a^2x+ab-b^2x+b=0\)

\(\Rightarrow x\left(a^2-b^2\right)+b\left(a+1\right)=0\)

* Với \(a^2-b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)

Ta có

x . 0 + b(a-1 ) = 0

=> b (a-1 ) = 0

Mà a= b hoặc a = -b

=> a =b = 1 hoặc a= b = 0

=> Với a = b = 1 hoặc a = b = 0 , ta được đẳng thức đúng => có vô số nghiệm x

* Với \(\left(a^2-b^2\right)\ne0\Leftrightarrow a\ne\pm b\)

Ta có

\(x\left(a^2-b^2\right)+b\left(a+1\right)=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-b\left(a+1\right)}{a^2-b^2}\)

Vậy : - Với \(a=\pm b\) , a = b = 0 ; a =b = 1 ; ta được \(x\in R\) là nghiệm của phương trình

- Với \(a\ne\pm b\), ta có \(x=\dfrac{-b\left(a+1\right)}{a^2-b^2}\)

\(x^2\left(x+2a\right)-\left(a+1\right)^2\left(x+2a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2a\right)\left[x^2-\left(a+1\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2a\right)\left(x+a+1\right)\left(x-a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2a\\x=-a-1\\x=a+1\end{matrix}\right.\) 

Pt đã cho luôn có 3 nghiệm (như trên) với mọi a

\(\left\{{}\begin{matrix}-a-1-\left(-2a\right)=a-1< 0\\\left(-a-1\right)-\left(a+1\right)=-2\left(a+1\right)< 0\\\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=-a-1\) là nghiệm nhỏ nhất

ĐKXĐ:\(\hept{\begin{cases}a,b\ne0\\x\ne b\\x\ne c\end{cases}}\)

Ta có:\(\frac{2}{a\left(b-x\right)}-\frac{2}{b\left(b-x\right)}=\frac{1}{a\left(c-x\right)}-\frac{1}{b\left(c-x\right)}\)

      \(\Leftrightarrow\frac{2}{b-x}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{c-x}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\left(\frac{2}{b-x}-\frac{1}{c-x}\right)=0\)

Nếu \(a=b\)thì phương trình đúng với mọi nghiệm x

Nếu \(a\ne b\)thì phương trình có nghiệm

\(\frac{2}{b-x}-\frac{1}{c-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(c-x\right)}{\left(c-x\right)\left(b-x\right)}-\frac{1\left(b-x\right)}{\left(c-x\right)\left(b-x\right)}=0\)

\(\Rightarrow2c-2x-b+x=0\)

\(\Leftrightarrow-x=b-2c\)

\(\Leftrightarrow x=2c-b\left(tmđkxđ\right)\)

Vậy ..............................................................................................

a: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\left(m-3\right)\left(m+2\right)\ne0\)

hay \(m\notin\left\{3;-2\right\}\)

Để phương trình có vô số nghiệm thì \(m-3=0\)

hay m=3

Để phương trình vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)\left(m+2\right)=0\\m^2-4m+3< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\)

\(PT\Leftrightarrow m^2x-m^2-5mx+m+6x+2=0\\ \Leftrightarrow x\left(m^2-5m+6\right)=m^2-m-2\\ \Leftrightarrow x\left(m-2\right)\left(m-3\right)=\left(m-2\right)\left(m+1\right)\)

Với \(m\ne2;m\ne3\)

\(PT\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(m-2\right)\left(m+1\right)}{\left(m-2\right)\left(m-3\right)}=\dfrac{m+1}{m-3}\)

Với \(m=2\Leftrightarrow0x=0\left(vsn\right)\)

Với \(m=3\Leftrightarrow0x=4\left(vn\right)\)

Vậy với \(m\ne2;m\ne3\) thì PT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{m+1}{m-3}\), với \(m=2\) thì PT có vô số nghiệm và với \(m=3\) thì PT vô nghiệm

ĐK : \(\hept{\begin{cases}ax-1\ne0\\bx-1\ne0\\\left(a+b\right)x-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ax\ne1\\bx\ne1\\\left(a+b\right)x\ne1\end{cases}}}\)     (2) 

        Ta có thể viết phương trình dưới dạng : \(abx\left[\left(a+b\right)x-2\right]=0\)  (3) 

TH1 : a = b = 0 

Điều kiện 2 luôn đúng , khi có : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\), phương trình nghiệm đúng \(\forall x\in R\)

TH2 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a=0\\b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{b}\), khi đó : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\),  phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\ne\frac{1}{b}\)

TH3 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a\ne0\\b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\), khi đó : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\),  phương trình nghiệm đúng với \(\forall x\ne\frac{1}{a}\)

TH4 : Nếu '\(\hept{\begin{cases}a\ne0\\a+b=0\end{cases}\Leftrightarrow b=-a\ne0}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\)và \(x\ne\frac{1}{b}\)

Khi đó : (3) \(\Leftrightarrow x=0\),  là nghiệm duy nhất của phương trình . 

TH5 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a\ne0\\b\ne0\\a+b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\)và \(x\ne\frac{1}{b}\)và \(x\ne\frac{1}{a+b}\Rightarrow\)(2) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{2}{a+b}\end{cases}}\)

Nghiệm \(x=\frac{2}{a+b}\)chỉ thỏa mãn đk khi a\(\ne\)b 

KL : ............