Hình vuông ABCD có cạnh a , E là trung điểm cạnh BC , F là trung điểm cạnh AE . Tìm độ dài đọan thẳng DF
hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF
E là trung điểmcủa BC
=>EB=EC=a/2
\(AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
Xét ΔABE vuông tại B có \(\left\{{}\begin{matrix}cosBAE=\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\sinBAE=\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{0.5a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)
=>\(cosDAF=cosBEA=sinBAE=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
\(AF=\dfrac{AE}{2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{4}\)
Xét ΔADF có \(cosDAF=\dfrac{AD^2+AF^2-DF^2}{2\cdot AD\cdot AF}\)
=>\(\dfrac{a^2+a^2\cdot\dfrac{5}{16}-DF^2}{2\cdot\dfrac{a\sqrt{5}}{4}\cdot a}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
=>\(\dfrac{\dfrac{21}{16}a^2-DF^2}{\dfrac{a^2\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
=>\(\dfrac{21}{16}a^2-DF^2=\dfrac{a^2}{2}\)
=>\(DF^2=\dfrac{13}{16}a^2\)
=>\(DF=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}\)
Hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm AE.Tìm độ dài đoạn thẳng DF
Có :
\(\text{AE = DE = }\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
Dùng công thức độ dài trung tuyến:
\(DF^2=\dfrac{DA^2+DE^2}{2}-\dfrac{AE^2}{4}=\dfrac{a^2+\dfrac{5a^2}{4}}{2}-\dfrac{5a^2}{16}=\dfrac{13a^2}{16}\) \(\Rightarrow\) \(DF=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}\)
Cho hình vuông ABCD có cạnh \(2\sqrt{3}\). Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. M là giao điểm của DF và CE sao cho \(M\left(3;6\right)\). Phương trình đường thẳng AD là \(x+2y-7=0\). Tìm tọa độ điểm A, biết \(y_A>2\)
Cho hình bình hành ABCD có góc BAD=60 độ. E là trung điểm cạnh BC và F là trung điểm cạnh CD. Giả sử BD lần lượt cắt AE và AF tại M, N. Biết rằng AB=15cm và AD=8cm. Tính độ dài cạnh MN
Cho hình chữ nhật ABCD, điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AE=EBx2, điểm F là trung điểm của cạnh BC. M và N lần lượt là trung điểm của DE và DF. Biết diện tích tam giác EMN là 6cm2. Tính diện tích tứ giác EBFN
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E;F;G;H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB;BC;CD;DA. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Tính diện tích tam giác MDC theo a
Xét tam giác vuông là tam giác BEC và tam giác DCF có CD = BC , BE = CF = 1/2a
=> Tam giác BEC = tam giác DCF (hai cạnh góc vuông)
=> góc CDF = góc BCE mà góc CDF + góc DFC = 90 độ
=> góc ECF + góc DFC = 90 độ hay góc DMC = 90 độ => CE vuông góc DF
Ta chứng minh được tam giác MDC đồng dạng tam giác CDF (g.g)
Áp dụng định lí Pytago có \(DF=\sqrt{CD^2+FC^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(S_{CDF}=\frac{1}{2}CD.CF=\frac{1}{2}a.\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{a^2}{4}\)
Suy ra \(\frac{S_{MDC}}{S_{CDF}}=\left(\frac{CD}{DF}\right)^2=\left(\frac{a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}\right)^2=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow S_{MDC}=\frac{4}{5}S_{CDF}=\frac{4}{5}.\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{5}\)
cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. trên cạnh BC lấy điểm E, qua A kẻ đuờng thẳng vuông góc với AE, cắt CD tại F. I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại K . CMinh AEF là tam giác vuông cân và KE KF. D,I,B thẳng hàng . trên AB lấy điểm M sao cho BE BM, tìm vị trí của E trên BC để tam giác DEM đạt giá trị lớn nhất
a/
Ta có
\(\widehat{BAE}+\widehat{DAE}=\widehat{ABC}=90^o\)
\(\widehat{FAD}+\widehat{DAE}=\widehat{FAE}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{FAD}\)(1)
Ta có \(AB=AD\) (2)
Xét tg vuông BAE và tg vuông DAF
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta DAF\) (hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)
\(\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A
Mà \(\widehat{FAE}=90^o\Rightarrow\Delta AEF\) vuông cân tại A
Xét \(\Delta AEF\) có
IE=IF
\(\Rightarrow AD\perp EF\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh đồng thời là đường cao)
Xét \(\Delta KEF\) có
IE=IF; \(AD\perp EF\)
\(\Rightarrow\Delta KEF\) là tg cân (trong tg đường cao xp từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân) \(\Rightarrow KE=KF\)
b/
Ta có \(\Delta AEF\) vuông cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=45^o\) (1)
Xét \(\Delta ABD\) có
AB=AD; \(\widehat{BAD}=90^o\Rightarrow\Delta ABD\) vuông cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ABD}=45^o\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{AEF}\) (3)
Gọi P là giao của AD với EF; Q là giao của BD với AE
Xét \(\Delta AFP\) và \(\Delta ABQ\) có
AD=AB
\(\Delta AEF\) cân tại A => AF=AE
\(\widehat{DAF}=\widehat{BAE}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AFP=\Delta ABQ\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{APF}=\widehat{AQB}\)
Mà \(\widehat{APF}=\widehat{DPI};\widehat{AQB}=\widehat{EQI}\) (góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{DPI}=\widehat{EQI}\) (4)
Nối D với I, B với I. Xét \(\Delta DPI\) và \(\Delta EQI\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{DIP}=\widehat{EIQ}\)
Mà \(\widehat{EIQ}+\widehat{FIB}=\widehat{FIE}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DIP}+\widehat{FIB}=\widehat{DIB}=180^o\) => D; I; B thẳng hàng
c/
Ta có \(AM=AB-BM;CE=BC-BE\)
Mà \(BM=BE;AB=BC\)
\(\Rightarrow AM=CE\)
Ta có AD=CD
\(S_{\Delta ADM}=\frac{AD.AM}{2}=S_{\Delta CDE}=\frac{CD.CE}{2}\Rightarrow S_{\Delta ADM}+S_{\Delta CDE}=2S_{\Delta CDE}=CD.CE\)
\(S_{\Delta BME}=\frac{BE.BM}{2}=\frac{BE^2}{2}\)
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD có
\(S_{\Delta DEM}=S_{ABCD}-\left(S_{\Delta ADM}+S_{\Delta CDE}+S_{BME}\right)=\)
\(=a^2-2S_{\Delta CDE}-\frac{BE^2}{2}=a^2-a.CE-\frac{\left(a-CE\right)^2}{2}=\)
\(=\frac{2a^2-2a.CE-a^2+2a.CE-CE^2}{2}=\frac{a^2-CE^2}{2}\)
\(\Rightarrow S_{\Delta DEM}\) lớn nhất khi \(a^2-CE^2\) lớn nhất \(\Rightarrow CE^2\) nhỏ nhất => CE nhỏ nhất
CE nhỏ nhất khi CE=0 => E trùng C
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên cạnh CD( E khác C,D).Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
a, CMR: \(cosAKE=sinEKF.cosEFK+sinEFK.cosEKF\)
bạn có cách giải bài này chưa ạ , nếu có r thỉ mik với đc k ạ
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho DE = CF. Chứng minh rằng AE = DF và AE ⊥ DF.
Xét ∆ ADE và ∆ DCF:
AD = DC (gt)
∠ A = ∠ D = 90 °
DE = CF (gt)
Do đó: ∆ ADE = ∆ DCF (c.g.c)
⇒ AE = DF
∠ (EAD) = ∠ (FDC)
∠ (EAD) + ∠ (DEA) = 90 ° (vì ΔADE vuông tại A)
⇒ ∠ (FDC) + ∠ (DEA) = 90 °
Gọi I là giao điểm của AE và DF.
Suy ra: ∠ (IDE) + ∠ (DEI) = 90 °
Trong ∆ DEI ta có: ∠ (DIE) = 180 ° – ( ∠ (IDE) + ∠ (DEI) ) = 180 ° – 90 ° = 90 °
Suy ra: AE ⊥ DF