1) Xét tứ giác MNOP có 

\(\widehat{ONM}\) và \(\widehat{OPM}\) là hai góc đối

\(\widehat{ONM}+\widehat{OPM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MNOP là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNOP là trung điểm của OM

hay O' là trung điểm của OM

2. Để MONP là hình vuông thì đường chéo OM=ON\(\sqrt{2}\)=R\(\sqrt{2}\)

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M

CM: Từ M vã 2 tiếp tuyến MN và MP ta có: \(MN=\sqrt{MO^2-ON^2}=R\)

Nên tam giác ONM vuông cân tại N. Tương tự tam giác OMP vuông cân tại P do đó MNOP là hình vuông

Bài toán luôn có 2 nghiệm vì \(OM=R\sqrt{2}>R\)

3. Ta có MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O) nên MNOP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM. Tâm là trung điểm H của OM. Suy ra tam giác cân MPO nội tiếp trong đường tròn đường kính OM, tâm là H

Kẻ \(OE\perp AB\) thì E là trung điểm của AB (cố định ). kẻ  \(HL\perp\left(d\right)\) thì HL//OE nên HL là đường trung bình của tam giác OEM => HL=1/2 OE (không đổi)

Do đó khi M di động trên (d) thì H luôn cách đều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d')//(d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE

Ta có OM là phân giác góc NMP (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Kẻ tia phân giác góc PNM cắt đường tròn (O) tại điểm F khi đó NF=FP (ứng với góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nhau)

=> F ở trên OM dó đó F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP

Vậy khi M di động trên (d) thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy trên đường tròn (O)

cảm ơn bạn

.mn kb nha

Ta có

\(AB=AC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (1)

AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm của đường tròn là phân iacs của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=90^o\) (*)

Ta có

\(OM=ON\) (Bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại O

Ta có \(IM=IN\) (Giả thiết) => ON là đường trung tuyến của tg OMN

\(\Rightarrow OE\perp AN\) (Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=90^o\) (**)

Từ (*) và (**) => I và H cùng nhìn AE dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ => I và H nằm trên đường tròn đường kính AE nên 4 điểm A;H;I;E cùng nằm trên 1 đường tròn

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua $A$ và không đi qua $O$, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $N$). Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Đường thẳng $BC$ cắt $AO$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Chứng minh $AHIE$ là tứ giác nội tiếp.

 theo gt, ta co: 

$I$ là trung điểm của $MN\; va\; MN\; la\; day\; cung\; cua\; (O)$

$=>\; OE\; vuong\; goc\; voi\; MN\; tai\; I$

$hay\; goc\; AIE=\; 90\; (1)$

$Mat\; khac,\; ta\; lai\; co\; A\; nam\; ngoai\; (O);$

$AC\; va\; AB\; lan\; luot\; la\; cac\; tiep\; tuyen\; cua\; (O)$

=> AO vuong goc voi BC

hay goc AHE = 90 (2)

tu (1) va (2) => tu giac AHIE noi tiep (vi co 2 goc ke bang nhau)

Tự vẽ hình nhé!

a, MN;MP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{ONM}=\widehat{OPM}=90^0\Rightarrow\) Tứ giác MNOP nội tiếp ngược

\(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NPO}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn chung NO)

b, Gọi C là trung điểm dây AB ta có C cố định

(d) không qua O nên \(OC\perp AB\)

            \(\widehat{OCM}=\widehat{OMN}=\widehat{OPM}=90^0\)

\(\Rightarrow\) C ; N ; P thuộc đường tròn đường kính OM

\(\Rightarrow\) C ; N ; P ; O ; M cùng thuộc một đường tròn

Mà O và C cố định

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2 điểm cố định O và C khi M lưu động trên đường thẳng (d)

c, Tứ giác MNOP là hình vuông 

\(\Leftrightarrow\) Hình thoi MNOP có \(\widehat{ONM}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\) Tứ giác MNOP có MN = ON = OP = PM và \(\widehat{ONM}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\)Tam giác OMN vuông cân tại N  \(\Leftrightarrow\) \(OM=ON\sqrt{2}=R\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\) M là giao điểm của đường tròn tâm O bán kính \(R\sqrt{2}\) và đường thẳng (d)

d, từ nghĩ đã...

\(\Leftrightarrow\) MN = ON = R ; \(\widehat{ONM}=90^0\)

cái dòng cuối cùng của ý d là dòng thứ 4 của ý c nhé, bị nhầm đó

d, Làm tiếp:

Giả sử đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O) tại I'

OM là tia phân giác \(\widehat{NOP}\)( vì MN;MP là 2 tiếp tuyến của (O))

\(\Rightarrow\widehat{NOM}=\widehat{POM}\Rightarrow\widebat{NI'}=\widebat{PI'}\)

\(sđ\widehat{NPI'}=\frac{1}{2}sđ\widebat{NI'}\)     ;   \(sđ\widehat{MPI'}=\frac{1}{2}sđ\widehat{PI'}\)

Do đó \(\widehat{NPI'}=\widehat{MPI'}\Rightarrow\) PI' là tia phân giác \(\widehat{MPN}\)

\(\Delta MPN\)có MI' là tia phân giác \(\widehat{NMP}\)( vì MN và MP là 2 tiếp tuyến ) và PI' là tia phân giác \(\widehat{MPN}\)nên I' là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP 

Do đó \(I'\equiv I\)mà I' thuộc đường tròn (O;R)

Mặt khác :  O , I cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d

Do đó I lưu động trên cung lớn AB của đưởng tròn tâm O bán kính R