Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k. 

Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ. 
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2 
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2. 
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn) 

Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.

Tham khảo nè bác :)

Câu hỏi của Đỗ Văn Hoài Tuân - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k. 

Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ. 

Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2 => p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2. 

Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn) Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ

(đ.p.c.m)

=>căn n =a/b(b khác 0)(số hữu tỉ có thể biểu diễn như vậy)

<=> n=a^2/b^2

<=>a^2=b*c^2

mà a^2 và b^2 là hai số chính phương

=> n là số chính phương

=> trái giả thiết => giả sứ sai

=>a ko phải là số chính phương => căn a là số vô tỉ

Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k. 

Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ. 
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2 
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2. 
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn) 

Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.

Nhận xét:Một số chính phương khi chia cho 3 và 4 có số dư là 0 hoặc 1(không chứng minh được thì ib vs mik)

Từ giả thiết,suy ra p chia hết cho 2 và 3 nhưng không chia hết cho 4

Như vậy vì p chia hết cho 3 suy ra p-1 chia 3 dư 2.suy ra p-1 không là số chính phương.(1)

Mặt khác  p chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 suy ra p chia 4 dư 2 suy ra p+1 chia 4 dư 3 không là số chính phương.(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.

1 / Ta chứng minh phản chứng

Giả sử tồn tại a thoả mãn a không phải là số chính phương và căn a là số hữu tỉ ( không vô tỉ thì hữu tỉ chứ còn gì :v )

Tức là căn a biểu diễn dưới dạng m/n ( với m, n là số nguyên, n khác 0 )

căn a = m/n                 GCD ( m,n ) = 1 ( ước chung lớn nhất của m, n là 1 hay m/n là phân số tối giản )

suy ra a = (m/n)^2 (*)

1/ Giả sử a là số nguyên tố

m^2 = a x n^2

Suy ra m^2 chia hết cho a

mà a là số nguyên tố

suy ra m chia hết cho a

Suy ra m có dạng a x k

Thay vào (*) được a = ((a x k) / n)^2

Suy ra (a x k)^2 = a x n^2

Suy ra a k^2 = n^2

Suy ra n^2 chia hết cho a

Suy ra n chia hết cho a

Vậy m,n cùng chia hết cho a, trái với giả thiết GCD (m,n) = 1. Tức là không tồn tại a

2/ a không phải là số nguyên tố 

Tức là a = p x q ( p là số nguyên tố, q là số nguyên dương )

p x q = (m/n)^2

Hay m^2 = p x q x n^2

Đến đây lại suy ra m^2 chia hết cho p nguyên tố

Quay lại chứng minh tương tự như phần 1 ( coi p như a là ổn )