a) Mình sửa lại đề bài của bạn chút : Cần chứng minh \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}\le0\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : \(\left[\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right]^2=\left(\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}.\sqrt{c}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(a-c+c\right)\)

\(\Rightarrow\left[\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right]^2\le ab\Rightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}\le0\)(đpcm)

b) Ta có : \(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}=2\sqrt{1+a}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : \(\left(2\sqrt{1+a}\right)^2=\left(1.\sqrt{1+b}+1.\sqrt{1+c}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+b+1+c\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(1+a\right)\le2\left(b+c+2\right)\Leftrightarrow4+4a\le2\left(b+c\right)+4\Leftrightarrow b+c\ge2a\)(đpcm)

a)\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+c}{b+c}\)<=>a(b+c)<b(a+c)<=>ab+ac<ac+bc<=>ac<bc<=>a<b(đúng theo giả thiết)

Vậy:\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+c}{b+c}\)

b) (a+b)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))=\(\frac{a+b}{a}\)+\(\frac{a+b}{b}\)=1+\(\frac{b}{a}\)+1+\(\frac{a}{b}\)

Giả sử a<b, ta đặt b=a+k(k>0)

Khi đó (a+b)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))=2+\(\frac{a+k}{a}\)+\(\frac{a}{b}\)=3+\(\frac{k}{a}\)+\(\frac{a}{b}\)=3+\(\frac{bk+a^2}{ab}\)=3+\(\frac{ak+k^2+a^2}{ab}\)=3+\(\frac{a\left(a+k\right)+k^2}{ab}\)=3+\(\frac{ab+k^2}{ab}\)=4+\(\frac{k^2}{ab}\)\(\ge\)4(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b)

Chứng minh tương tự với a>b

cm cái j v bn ? 

đc r nha bạn

tui là unti fan của linh ka

Bạn anti thì kệ nhưng có thể giúp mình không

Theo đề ta có:

\(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a,b,c khác 0 và b khác c.

CMR \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)

=> \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

=> \(\dfrac{1}{c}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\Rightarrow\dfrac{1}{c}.\dfrac{2}{1}\)

= \(\dfrac{\left(a+b\right)}{ab}\Rightarrow\dfrac{2}{c}=\dfrac{\left(a+b\right)}{ab}\)

=> 2ab=ac+bc (1)

Mà \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)

=> \(a.\left(c-b\right)=b.\left(a-c\right)\)

=> ac-ab= ab-bc

=> 2ab+ ac + bc (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được điều cần CM là;

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)

Giúp mình với!

b1: ta có: a^2+b^2 >0 ; b^2 +c^2>0 ; c^2 +a^2>0

=> \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2.b^2}\) (BĐT cau chy)

\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2.c^2}\) (BĐT cau chy)

\(c^2+a^2\ge2\sqrt{c^2.a^2}\)(BĐT cauchy)

=>\(\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\ge8a^2.b^2.c^2\)

Dấu '= xảy ra khi a=b=c (đpcm)

thăn kiu bạn nhiều nha!
yêu yêu hihi