a,b,c\(\inℕ\) và a+b+c=1 ; a,b,c\(\ge\)0

Ta có 3 TH:

TH1: a=1,b=0,c=0                                                                             TH2:c=1,b=0,a=0

=> b+c=0+0=16.(1.0.0)=0                                                            => b+c=b+1>16.(0.0.1)=0

TH2: b=1,a=0,c=0

=> b+c=1+c> 16.(0.1.0)=0

\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow b+c=\left(b+c\right).1\ge4a\left(b+c\right)\left(b+c\right)=4a\left(b+c\right)^2\ge4a.4bc=16abc\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4}\right)\)

Chưa cho a,b,c > 0 sao chia 2 vế cho abc đuojwc

Chia \(abc\) hai về được BĐT tương đương \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge16\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) được: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge\frac{4}{ab+ac}=\frac{4}{a\left(b+c\right)}\)

Dưới mẫu bạn áp dụng BĐT \(a\left(b+c\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\) thì \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge16\).

BĐT được chứng minh.

@ hoàng phúc chuẩn

Tuy nhiên để khử cái này thêm lý luận g/s trong 3 số a,b,c có một số =0 => 16abc =0

BĐT luôn đúng  kể cả b=c=0 thì cũng có đẳng thức

=> xét abc khác không=> tiếp 

p/s đúng sai chưa biết 

3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm, ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)

hay \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)

Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)nên 

\(b+c\ge4a.4bc=16abc\left(đpcm\right)\)

Cảm ơn bạn rất nhiều ;))

Ta có \(b+c=\left(b+c\right).\left(a+b+c\right)^2\) (vì a+b+c=0)

Mà \(\left(a+b+c\right)^2=\left[\left(b+c\right)+a\right]^2\ge4\left(b+c\right).a\)

Do đó \(\left(b+c\right).\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(b+c\right)^2.a\ge4.4bc.a=16abc\)vì (b+c)^2>=4bc

dấu = xảy ra thì tự tìm nha bạn

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)  ta có ngay \(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(a+b\right)c\). Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức trên một lần nữa ta được

\(a+b=\left(a+b\right)\cdot1\ge\left(a+b\right)\cdot4\left(a+b\right)c=4\left(a+b\right)^2c\ge16abc.\)  (ĐPCM)

Ta có: b + c = (b + c).(a + b + c)^2 (vì a + b + c = 1)
Ta có [ (a + b) + c ]^2 >= 4(a + b)c (vì (x + y)^2 >= 4xy )
<=> (b + c).(a + b + c)^2 >= 4(a + b)^2.c
lại có (a + b)^2 >= 4ab => 4(a + b)^2.c >= 16abc (đpcm)
bạn tự tìm dấu '=' nha