a, HS tự chứng minh

b, Ta chứng minh được tứ giác BCEN là hình bình hành => BC = EN

Do BCDE là hình bình hành

=> BC = ED; DE = EN

=> BA ⊥ EN => BABC

=> BC là tiếp tuyến

Oc la duong phan giac cua tg aob

Hạ OH $\perp$ BN, OK $\perp$ AM. Chứng minh $\Delta COK=\Delta COH$ suy ra OC là đường phân giác của tam giác AOB.

Hạ OH $\perp$ BN, OK $\perp$ AM. Chứng minh $\Delta COK=\Delta COH$ suy ra OC là đường phân giác của tam giác AOB.

a) Ta có \(\widehat{AND}=\widehat{AMD}\)(góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\(AM//BN\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{MNB}\left(slt\right)\)

Ta có góc ANB nội tiếp đường trong O chắn nửa đường trong => góc ANB=90⁰

Ta có: \(\widehat{AMD}+\widehat{AMN}+\widehat{DNM}=\widehat{DNM}+\widehat{AND}+\widehat{MNB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DMN}+\widehat{MND}=90^0\Leftrightarrow\widehat{NDM}=90^0\)

Vì DM//AB và ND vuông góc với DM => DN vuông góc với AB

b) Ta có \(\widehat{BAN}=\widehat{BMN}\)(cùng chắn cung BN)

Mà \(\widehat{AMN}+\widehat{NMB}=90^0\Rightarrow\widehat{BAN}+\widehat{BAM}=90^0\Rightarrow\widehat{MAN}=90^0\)

\(\Rightarrow MANB\)là hcn

=> AM=BN

Ta có MC//AE và AM//EC => AMCE là hbh => AM=EC mà AM=BN => BN=EC mà BN//EC => ENBC là hbh =>EN//CB => CB vuông góc với AB(vì AB vuông góc với EN)=> BC là tiếp tuyến của đường tròn O
Chúc bạn học tốt!!!
 

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CB\(\perp\)CA tại C

=>CB là tiếp tuyến của (A;AC)

Xét (A;AC) có

\(\widehat{BCE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CB và dây cung CE)

\(\widehat{CDE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\widehat{BCE}=\widehat{CDE}\)

Xét (O) có

\(\widehat{CBE}\) là góc nội tiếp chắn cung CN

\(\widehat{CDN}\) là góc nội tiếp chắn cung CN

Do đó: \(\widehat{CBE}=\widehat{CDN}\)

mà \(\widehat{BCE}=\widehat{CDE}\)

nên \(\widehat{CBE}+\widehat{BCE}=\widehat{CDN}+\widehat{CDE}=\widehat{NDE}\left(1\right)\)

Xét ΔCEB có \(\widehat{CEN}\) là góc ngoài tại đỉnh E

nên \(\widehat{CEN}=\widehat{CBE}+\widehat{BCE}\left(2\right)\)

Từ(1) và (2) suy ra \(\widehat{CEN}=\widehat{NDE}\)

AC=AD

=>A nằm trên đường trung trực của CD(3)

OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)

Từ (3) và (4) suy ra OA là đường trung trực của CD

=>BA là đường trung trực của CD

=>\(sđ\stackrel\frown{BC}=sđ\stackrel\frown{BD}\)

Xét (O) có

\(\widehat{BNC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

\(\widehat{BND}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

\(sđ\stackrel\frown{BC}=sđ\stackrel\frown{BD}\)

Do đó: \(\widehat{BNC}=\widehat{BND}\)

Xét ΔCEN và ΔEDN có

\(\widehat{CEN}=\widehat{EDN}\)

\(\widehat{CNE}=\widehat{END}\)

Do đó: ΔCEN đồng dạng với ΔEDN

=>\(\dfrac{NC}{NE}=\dfrac{NE}{ND}\)

=>\(NE^2=NC\cdot ND\)