Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)
cho x và y là các số dương thỏa mãn xy=1. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: \(P=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}\)
cho x,y là hai số dương thỏa mãn xy=1. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
\(P=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}\)
giúp mình với
1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)
2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\)
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
Cho x, y là các số thực khác 0 thỏa mãn: \(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2016+ xy
ĐK: x khác 0
Từ\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=6+xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{y}{2}\right)^2=6+xy\)
Do VT > 0\(\Rightarrow6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 + 6 = 2022
tth : Viết nhầm :V
Đoạn cuối \(6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge-6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 - 6 = 2010 !!!
Được rồi chứ gì -.-
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=0\\x+\frac{y}{2}=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1\\x=-\frac{y}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)OK ???
cho 2 số x, y là 2 số thực thỏa mãn x2+y2=4. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=\(\frac{xy}{x+y+4}\)
cho 2 số x, y là 2 số thực thỏa mãn x2+y2=4. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=\(\frac{xy}{x+y+4}\)
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x +y bé hoặc bằng xy
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\(\frac{1}{5x^2+7y^2}+\frac{1}{7x^2+5y^2}\)
từ giả thiết: \(x+y\le xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(theo BĐT AM-GM)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y-4\right)\ge0\)mà x,y dương nên \(x+y\ge4\)
ta có:\(16P\le\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{5x^2+7y^2}+\frac{1}{5y^2+7x^2}\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz theo chiều ngược lại:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{5x^2+7y^2}\le\frac{x^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{y^2}{2\left(x^2+2y^2\right)}\)
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{5y^2+7x^2}\le\frac{y^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{2\left(y^2+2x^2\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{5x^2+7y^2}+\frac{1}{5y^2+7x^2}\right)\le\frac{x^2+y^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{2\left(y^2+2x^2\right)}+\frac{y^2}{2\left(x^2+2y^2\right)}\)(*)
xét \(\frac{x^2}{y^2+2x^2}+\frac{y^2}{x^2+2y^2}=2-\frac{x^2+y^2}{y^2+2x^2}-\frac{x^2+y^2}{x^2+2y^2}=2-\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{y^2+2x^2}+\frac{1}{x^2+2y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy:\(\frac{1}{y^2+2x^2}+\frac{1}{x^2+2y^2}\ge\frac{4}{3\left(x^2+y^2\right)}\)
do đó \(\frac{x^2}{y^2+2x^2}+\frac{y^2}{x^2+2y^2}\le2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\)
kết hợp với (*):\(16VT\le\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)
\(VT\le\frac{1}{24}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=2
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y+xy=3 tìm các giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{9-y^2}+\dfrac{x+y}{4}\)
\(3=x+y+xy\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{x^2+y^2}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+y^2}+3\sqrt{2}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)
\(\Rightarrow-\left(x^2+y^2\right)\le-2\)
\(P=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{9-y^2}+\dfrac{x+y}{4}\le\sqrt{2\left(9-x^2+9-y^2\right)}+\dfrac{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{4}\)
\(P\le\sqrt{2\left(18-x^2-y^2\right)}+\dfrac{1}{4}.\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(P\le\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{18-x^2-y^2}+\sqrt[]{2}\sqrt{\dfrac{\left(18-x^2-y^2\right)}{2}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\)
\(P\le\left(\sqrt{2}-1\right).\sqrt{18-2}+\sqrt{\left(2+\dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{18-x^2-y^2+x^2+y^2}{2}\right)}=\dfrac{1+8\sqrt{2}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)