Cho tam giác ABC cân tại A, phân giác BM và CN cắt nhau tại K
a) chứng minh \(\Delta ABM=\Delta ACN\) và \(\Delta AMN\) cân
b)chứng minh BCMN là hình thang cân
c) gọi E là trung điểm của BC. chứng minh A,K,E thẳng hàng
Bài 17: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC.
a, Chứng minh \(\Delta\) ABM =\(\Delta\) ACM
b, Chứng minh AM là phân giác góc BAC và AM vuông góc BC.
c, Lấy E bất kì trên đoạn AM. Chứng minh tam giác EBC cân.
Lời giải:
a.
Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC$
Xét tam giác $ABM$ và $ACM$ có:
$AB=AC$
$AM$ chung
$BM=CM$ (do $M$ là trung điểm $BC$)
$\Rightarrow \triangle ABM=\triangle ACM$ (c.c.c)
b.
Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$. Mà $AM$ nằm giữa $AB, AC$ nên $AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$
Cũng từ tam giác bằng nhau phần a suy ra:
$\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=\widehat{BMC}=180^0$
$\Rightarrow \widehat{AMB}=180^0:2=90^0$
$\Rightarrow AM\perp BC$
c.
$AM\perp BC, M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ là đường trung trực của $BC$
$\Rightarrow$ mọi điểm $E\in AM$ đều cách đều 2 đầu mút B,C (theo tính chất đường trung trực)
$\Rightarrow EB=EC$
$\Rightarrow \triangle EBC$ cân tại $E$.
: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của GB và GC. a) Chứng minh tứ giác BCMN là hình thang; b) Chứng minh tứ giác EFMN là hình bình hành. c) Nếu tam giác ABC cân tại A có o A 50 thì tứ giác BCMN là hình gì? Tính các góc của tứ giác BCMN
a: Xét ΔABC có
N là trung điểm của AB
M là trung điểm của AC
Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: NM//BC
hay BCMN là hình thang
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\).
b) Phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(MN\) và \(BC\) lần lượt tại \(I\) và \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).
a) Vì \(BM\)là đường cao nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \); vì \(CN\)là đường cao nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ \)
Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) có:
\(\widehat A\) (chung)
\(\widehat {ANB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)
Suy ra, \(\Delta AMB\backsim\Delta ANC\) (g.g).
Suy ra, \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).
Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (tỉ lệ thức)
Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) có:
\(\widehat A\) (chung)
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (chứng minh trên)
Suy ra, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).
b) Xét tam giác \(AMN\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\widehat {MAN}\left( {I \in MN} \right)\).
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\)
Xét tam giác \(ABC\) có \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\left( {K \in BC} \right)\).
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Mà \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh trên) nên \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) (điều phải chứng minh).
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
a) Chứng minh BM = CN và góc ABM = góc ACN.
b) Gọi I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác IBC cân.
c) Chứng minh AI là phân giác của góc A.
d) Chứng minh AI vuông góc BC
CM BNC=CMB
MC=BN ; \(\widehat{B}=\widehat{C}\) ; BC chung
\(\Rightarrow\)BM=CN
CM ABM=ACN
AB=AC ; AM=AN ; \(\widehat{A}\) chung
\(\Rightarrow\)ABM =ACN \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
b \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) \(\Rightarrow\)\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\);
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{BMC}=\widehat{CNB}\)
Xét BIN vs CIM : BN=CM ; \(\widehat{ACM}=\widehat{ACN};\)\(\widehat{BMC}=\widehat{CNB}\)
\(\Rightarrow\) IB=IC \(\Rightarrow\)IBC cân
c, Xét AIB và AIC : IB =IC ; \(\widehat{ABI}=\widehat{ACI};AB=AC\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)\(\Rightarrow\)AI pg góc A
d, xét BAD và CAD
góc BAI = CAI ; AB=AC ; AD chung
\(\Rightarrow\)góc ADB = ADC mà chúng cộng nhau = 180 \(\Rightarrow\)\(\widehat{D}\)= 90
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC, AB.
a. Chứng minh BM=CN và ··ABM = ACN?
b. Gọi I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác IBC cân?
c. Chứng minh AI là phân giác của góc A?
d. Chứng minh AI vuông góc với BC?
a/ Có AB = AC ( tam giácABC cân tại A) , mà M , N lan luot la trung điểm cua AC , AB Suy ra AM = AN Xét tam giác AMB và tam giác ANC có: Góc A : góc chung AB = AC ( tam giác ABC cân tại A) AM = AN ( cmt) Suy ra : tam giácAMB = tam giác ANC ( c - g - c) Suy ra BM = CN ( 2 cạnh t/ứng ) Phan b , c ,d mik đều làm đc nhunh giờ điện thoại mik hết pin rồi
Câu 4 (VD) (3,0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tin KA, lấy điểm H sao cho KH = KA a) Chứng minh: Tam giác Delta*AKC = Delta*AKB b) Chứng minh: Delta*AKC = Delta*HKB và AC //HB: c) Kẻ đường thẳng qua K và vuông góc với AC tại M, cắt cạnh BH tại N. Chime minh: K là trung diểm của MN
a: Xét ΔAKC và ΔAKB có
AK chung
KC=KB
AC=AB
Do dó: ΔAKC=ΔAKB
b: Xét ΔAKC vuông tại K và ΔHKB vuông tại K có
KA=KH
KC=KB
Do đó: ΔAKC=ΔHKB
=>góc CAK=góc BHK
=>AC//HB
Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác góc B cắt AC tại M, tia phân giác góc C cắt AB tại N. Chứng minh:
a) Tam giác AMN cân và MN // BC
b) Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của CN và BM. Chứng minh A, I, E thẳng hàng.
a)
*AMN cân
Vì t/g ABC cân tại A (gt)
=>^B=^C
Do đó: ^ABM=^ACN
Xét t/ABM và t/gACN có
góc ^A chung
AB=AC ( vì t/g ABC cân)
^ABM=^ACN (cmt)
Nên t/gABM=t/gACN (g.c.g)
=>AM=AN (2 cạnh tương ứng = nhau)
=> tam giác ANM cân
*MN//BC
Từ tam giác ANM cân nên => ^A+^ANM+^AMN=180o
tam giác ABC cân nên=>^A+^B+^C=180o
Mà ^B=^C
^ANM=^AM
Nên: ^C=^ANM
=>^MCN=^ANM
Mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong
Do đó MN//BC (đpcm)
b)
Vì t/g ABC cân tại A
^ABC=^ACB
Mà BM là tia p/g của ^ABC
CN là tia p/g của ^ACB
do đó: ^MBC=^NCB
=> tam giác EBC cân tại E
Xét t/g AEB và t/g AEC có:
AB=AC (vì t/g ABC cân)
^ABM=^ACN (cmt)
=BE=CE (EBC cân)
=> t/gAEB=t/gAEC(c.g.c)
=>^BAE=^CAE (2 góc tương ứng = nhau)
Do đó AE là tia phân giác của t/gBAC (1)
Xét t/g AIB và t/gAIC có
AB=AC ( vì t/g ABC cân)
IB=IC (I là trung điểm BC)
=>tam giác AIB=t/gAIC (c.g.c)
=>^IAB=^IAC (2 góc tương ứng = nhau)
Do đó:AI là tia phân giác của ^BAC (2)
Từ (1) và (2) => A,I,E thằng hàng ( 2 tia phân giác của 1 góc thì thẳng hàng).
Cho ΔABC cân tại A. Vẽ hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I.
a. Chứng minh: ΔABM = ΔACN.
b. Chứng minh: ΔIBC là tam giác cân.
c. Gọi H là giao điểm của AI và BC. Chứng minh: AH ⊥BC
vẽ hình câu c là được cám ơn
c)
Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC
mà BM cắt CN tại I
\(\Rightarrow\) I là trọng tâm của tam giác ABC
\(\Rightarrow\) AI là đường trung tuyến thứ 3 của tam giác ABC
mà AI cắt BC tại H
\(\Rightarrow\) H là trung điểm của BC
Xét tam giác ABH và tam giác ACH, có:
BH = CH (H là trung điểm của BC)
AB = AC (Tam giác ABC cân tại A)
AH là cạnh chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (c.c.c)
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) (Hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat{AHB}\) và \(\widehat{AHC}\) là hai góc kề bù
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{1}{2}.180độ=90độ\)
\(\Rightarrow AH\perp BC\) (đpcm)
Chúc bạn học tốt!
cho tam giác ABC dựng phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM và ACN vuông cân tại A. gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của MB,BC,CN. chứng minh a) BM=CN b) DEF vuông cân