Cho hình vuông ABCD có tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Điểm N nằm giữa B và C. Điểm P trên cạnh CD sao cho MN song song ÁP. Chứng minh \(\Delta BNO\)đồng dạng với \(\Delta DOP\)
Tính số đo góc \(\widehat{NOP}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho hình vuông ABCD có tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Điểm N nằm giữa B và C. Điểm P trên cạnh CD sao cho MN//AP.
Chứng minh tam giác BNO đồng dạng DOP và tính số đo góc NOP
12 tháng 6 2020 lúc 9:22
Chuyên ĐHSP HN ( 2014)
5. Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Các điểm N, P theo thứ tự thuộc cạnh BC,CD sao cho MN//AP. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta BNO~\Delta DOP\) và ^NOP = 45o
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC
c) Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy.
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) fhhhhhhhhh
12 tháng 6 2020 lúc 11:44
Chuyên ĐHSP HN ( năm 2014)5) Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Các điểm N; P theo thứ tự thuộc cạnh BC; CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng: a) DeltaBNO ~ DeltaDOP và ^NOP 45o b) Tâm đường tròn ngoại tiếp DeltaNOP thuộc OC c) Ba đường BD: AN; PM đồng quy
Đọc tiếp
Chuyên ĐHSP HN ( năm 2014)
5) Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Các điểm N; P theo thứ tự thuộc cạnh BC; CD sao cho MN//AP.
Chứng minh rằng:
a) \(\Delta\)BNO ~ \(\Delta\)DOP và ^NOP = 45o
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)NOP thuộc OC
c) Ba đường BD: AN; PM đồng quy
a) Gọi K là giao của MN và CD
Ta có: \(\widehat{BMN}=\widehat{MTD}\)(so le trong và MN//AP) và \(\widehat{MTD}=\widehat{APD}\) (đồng vị và MN//AP)
\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{APD}\)
Xét \(\Delta BMN\)và \(\Delta DPA\)có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{MBN}=\widehat{PDA}\left(=90^o\right)\\\widehat{BMN}=\widehat{APD}\left(cmt\right)\end{cases}}\)
=> \(\Delta BMN~\Delta DPA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BM}{DP}=\frac{BN}{DA}\Rightarrow\frac{BM}{BN}=\frac{DP}{DA}\)
Mà \(BM=\frac{AB}{2},DA=BD\sin\widehat{ABD}=\frac{\sqrt{2}BD}{2}=\sqrt{2}OB\)
Do đó: \(\frac{\frac{\sqrt{2}OD}{2}}{BN}=\frac{DP}{\sqrt{2}OB}\Rightarrow\frac{OD}{BN}=\frac{DP}{OB}\)
Xét \(\Delta DOP\)và \(\Delta BNO\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{ODP}=\widehat{NBO}\left(=45^o\right)\\\frac{OD}{BN}=\frac{DP}{OB}\end{cases}\Rightarrow\Delta DOP~\Delta BNO\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{DOP}=\widehat{BNO}}\)
Mà \(\widehat{DON}=\widehat{BNO}+\widehat{OBN}=\widehat{BNO}+45^o\)
Và \(\widehat{DON}=\widehat{DOP}+\widehat{NOP}\)
Do vậy \(\widehat{NOP}=45^o\)
2. Ta có \(\frac{OP}{ON}=\frac{OD}{BN}\left(\Delta DOP~\Delta BNO\right)\)
Nên \(\frac{OP}{ON}=\frac{OB}{BN}\Rightarrow\frac{OP}{OB}=\frac{ON}{BN}\)
Xét \(\Delta OPN\)và \(\Delta BQN\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{PON}=\widehat{OBN}\left(=45^o\right)\\\frac{OP}{OB}=\frac{ON}{BN}\end{cases}\Rightarrow\Delta OPN~\Delta BON\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{OPN}=\widehat{BON}}\)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP
Ta có \(\widehat{ION}=\frac{180^o-\widehat{OIN}}{2}=90^o-\widehat{OPN}=\widehat{BOC}-\widehat{BON}=\widehat{CON}\)
=> 2 tia OI,OC trùng nhau
Vậy I thuộc OC
3. Gọi E là giao của AN và PM
BD cắt MN,AP lần lượt tại K,H
\(\Delta BMN\)có: BK là đường phân giác
=> \(\frac{KM}{KN}=\frac{BM}{BN}\). Tương tự \(\frac{HP}{HA}=\frac{DP}{AD}\)
Do đó \(\frac{KM}{KN}=\frac{HP}{HA}\Rightarrow\frac{KM}{HP}=\frac{KN}{HA}=\frac{KM+KN}{HP+HA}=\frac{MN}{AP}\)
\(\Delta EAP\)có: MN//AP => \(\frac{MN}{AP}=\frac{EM}{EP}\) do đó: \(\frac{KM}{HP}=\frac{EM}{EP}\)do đó \(\frac{KM}{HP}=\frac{EM}{EP}\)
\(\Delta EMK~\Delta EPH\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{MEK}=\widehat{PEH}\)
Do đó \(\widehat{MEK}+\widehat{MEH}=\widehat{PEH}+\widehat{MEH}=180^o\)
=> H,E,K thẳng hàng => BD đi qua E
Vậy 3 đường BD,AN,PM đồng quy
Xem thêm câu trả lời
cho hình vuông ABCD , M là trung điểm AB. Trên cạnh DC và BC lấy lần lượt hai điểm P và N sao cho MN // AP và góc PON = 450 ( O là giao điểm hai dường chéo AC và BD ) . CHỨNG MINH RẰNG : tam giác DOP đồng dạng với tam giác BNO.
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho MN song song PQ và khoảng cách giữa MN và PQ bằng độ dài AB.
a. Chứng minh MP là phân giác góc QMN;
b. Gọi O là giao điểm của MQ và NP. Tính số đo góc MON
Cho hình vuông ABCD(AB//CD) góc A =90 độ có đường chéo AB vuông cạnh bên BC Biết AB = 12cm, AD=9 cm
a/ chứng minh tam giác ABD đồng dạng Tam giác BDC
b/Tính diện tích hình thang ABCD
c/gọi E là TRung điểm của DC.từ M bất kì trên Ec kẻ dường thẳng song song với BE cắt BC tại N và BD tại K. Chứng minh MN+NK=2EB
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc AC tại H, gọi M là trung điểm BH và N là trung điểm AH.
a) Chứng minh MN song song AB và tứ giác ABMN là hình thang.
b) Gọi E là trung điểm CD. Chứng minh tứ giác MNEC là hình bình hành.
c) Tính số đo góc BNE.
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc AC tại H, gọi M là trung điểm BH và N là trung điểm AH.
a) Chứng minh MN song song AB và tứ giác ABMN là hình thang.
b) Gọi E là trung điểm CD. Chứng minh tứ giác MNEC là hình bình hành.
c) Tính số đo góc BNE.
Cho hình chữ nhật ABCD (ABAD). Trên cạnh AD,BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AMCNA) CHỨNG MINH RẰNG BM//DNB) Gọi O là trung điểm của BD. CHỨNG MINH AC, BD, MN đồng quy tại OC) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt AB tại P, cắt CD tại Q. CHỨNG MINH: Tứ giác PBQD là hình thoiD) Đường thẳng qua B song song với PQ và đường thẳng qua Q song song với BD cắt nhau tại K. CHỨNG MINH: Tứ giác OBKQ là hình chữ nhật và BC _|_(vuông góc ) OK
Đọc tiếp
Cho hình chữ nhật ABCD (AB>AD). Trên cạnh AD,BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM=CN
A) CHỨNG MINH RẰNG BM//DN
B) Gọi O là trung điểm của BD. CHỨNG MINH AC, BD, MN đồng quy tại O
C) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt AB tại P, cắt CD tại Q. CHỨNG MINH: Tứ giác PBQD là hình thoi
D) Đường thẳng qua B song song với PQ và đường thẳng qua Q song song với BD cắt nhau tại K. CHỨNG MINH: Tứ giác OBKQ là hình chữ nhật và BC _|_(vuông góc ) OK