a: BC=BH+CH

=4+9=13

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=4\cdot9=36\)

=>AH=6

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\\AC=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

1: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

góc ACB chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHAC

2: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AM là phân giác

nên BM/AB=CM/AC

=>BM/3=CM/4

Áp dụng tính chất của dãy tr số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BM}{3}=\dfrac{CM}{4}=\dfrac{BM+CM}{3+4}=\dfrac{25}{7}\)

Do đó: BM=75/7(cm); CM=100/7(cm)

a/

Xét tg vuông ABH

\(AH^2=AM.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông ACH có

\(AH^2=AN.AC\) (lý do như trên)

\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)

b/

\(AN\perp AB;MH\perp AB\) => AN//MH

\(AM\perp AC;NH\perp AC\) => AM//NH

=> AMHN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

Mặt khác \(\widehat{A}=90^o\)

=> AMHN là HCN => AM=NH; AN=MH (cạnh đối HCN)

Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

=> tg ABH đồng dạng với tg ACH

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ACH}}\) (hai tg đồng dạng, tỷ số 2 diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AB.MH}{\dfrac{1}{2}.AC.NH}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MH}{NH}\) lập phương 2 vế

\(\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{MH^2.MH}{NH^2.NH}\) (1)

Xét tg vuông ABH

\(MH^2=BM.AM\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ tử đỉnh góc vuông bằng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (2)

Xét tg vuông ACH, c/m tương tự

\(NH^2=CN.AN\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1)

(1) \(\Leftrightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM.AM.MH}{CN.AN.NH}\)

Mà AM = NH; AN = MH (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM}{CN}\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên BH^2=BM*BA; AH^2=AM*AB

=>BM=BH^2/BA; MA=AH^2/AB

BM/MA=BH^2/BA:AH^2/AB

\(=\dfrac{BH^2}{AH^2}=\dfrac{BH^2}{BH\cdot HC}=\dfrac{BH}{HC}\)

\(=\dfrac{AB^2}{BC}:\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\)

Là hỏi toán mà lại ghi là TA