Lấy E sao cho A là trung điểm của CE

Xét ΔEBC có

BA là đường trung tuyến

BA=CE/2

Do đó: ΔEBC vuông tại E

Xét ΔCBE có AH//BE

nên AH/BE=CH/CB=1/2

=>AH=1/2BE

Xét ΔBEC vuông tại B có BK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)

=>\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Xét \(\Delta ACH;\Delta BCK\) có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}\left(chung\right)\\\widehat{AHC}=\widehat{BKC}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACH\sim\Delta BCK\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{CH}{CK}\)

\(\Rightarrow AH.CK=BK.CH\)

\(\Rightarrow AH^2.CK^2=BK^2.CH^2\)

\(\Rightarrow AH^2.CK^2=\dfrac{BK^2.BC^2}{4}\)

\(\Rightarrow AH^2.\left(BC^2-BK^2\right)=\dfrac{BK^2.BC^2}{4}\)

Chia cả 2 vế cho: \(AH^2.BC^2.BK^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}-\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4AH^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Bạn tự vẽ hình

Qua B kẻ đường thẳng song song AH cắt AC kéo dài tại D \(\Rightarrow DB\perp BC\)

\(\Rightarrow\Delta DBC\) vuông tại B

Lại có \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow H\) là trung điểm BC \(\Rightarrow AH\) là đường trung bình của \(\Delta DBC\Rightarrow BD=2AH\Rightarrow BD^2=4AH^2\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(DBC\) với đường cao BK:

\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BD^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\) (đpcm)

kẻ 1 đường thẳng vuông góc với BC cắt AC ở E

Xét tam giác CBE vuông tại B có:

1/BK^2=1/BC^2+1/BE^2 (hệ thức lượng)(1)

ta lại có:

*AH vuông góc với BC

BE vuông góc với BC

=>AH//BE (2)

*tam giác ABC cân tại A có:

AH là đường cao của tam gic1 ABC nên:

AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC

=>H là trung điểm của BC (3)

từ (2) và (3) suy ra:

A là trung điểm của CE (4)

từ (3) và (4) suy ra:

AH là đường trung bình của tam giác CBE 

=> AH=BE/2

=>BE=2AH

=>BE²=4AH² (5)

từ (1) và (5) suy ra:

1/BK^2=1/BC^2+1/4AH^2

Do tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là trung tuyến

Hay H là trung điểm BC \(\Rightarrow CH=\dfrac{BC}{2}\)

Từ H hạ HD vuông góc AC

\(\Rightarrow HD||BK\) (cùng vuông góc AC)

\(\Rightarrow\) HD là đường trung bình tam giác ACH

\(\Rightarrow HD=\dfrac{BK}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH:

\(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{BK}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}\Rightarrow\dfrac{4}{BK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{4}{BC^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{4AH^2}+\dfrac{1}{BC^2}\)

Từ H kẻ \(HD\perp AC\Rightarrow HD||BK\) (cùng vuông góc AC)

Mà ABC cân tại A \(\Rightarrow\) H là trung điểm BC \(\Rightarrow HC=\dfrac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow\) HD là đường trung bình tam giác BCK

\(\Rightarrow HD=\dfrac{BK}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao HD ứng với cạnh huyền:

\(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{BK}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{BK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{4}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

tick cho mình đi rồi mình giải câu c

Tam giác ABC cân ở A có đường cao AH=>BC=2CH

Ta có:\(\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}=\dfrac{4AH^2+BC^2}{4BC^2AH^2}=\dfrac{4AH^2+\left(2CH\right)^2}{16S_{ABC}^2}=\dfrac{4\left(AH^2+CH^2\right)}{16S^2_{ABC}}\)

Do AH vuông góc với BC nên theo pytago AH²+CH²=AC²

=>\(\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}=\dfrac{4AC^2}{16S^2_{ABC}}=\dfrac{AC^2}{4\cdot\left(\dfrac{1}{2}AC\cdot BK\right)^2}=\dfrac{1}{BK^2}\left(ĐPCM\right)\)