\(A=\overline{a_1a_2a_3b_1b_2b_3a_1a_2a_3}=\overline{a_1a_2a_3}.10^6+\overline{b_1b_2b_3}.10^3+\overline{a_1a_2a_3}\)

\(=\overline{a_1a_2a_3}.10^6+2.\overline{a_1a_2a_3}.10^3+\overline{a_1a_2a_3}=\overline{a_1a_2a_3}.\left(10^6+2+1\right)\)

\(=\overline{a_1a_2a_3}\left(1002001\right)=\overline{a_1a_2a_3}.7^2.11^2.13^2\)

Vậy \(\overline{a_1a_2a_3}\) phải bình phương của một số nguyên tố p khác với 7,11,13.

Do \(\overline{b_1b_2b_3}< 1000\) nên \(\overline{a_1a_2a_3}< 500\)

\(\Rightarrow10< p< 23\)

Như vậy , \(p\) chỉ có thể là 17 hoặc 19 , do đó \(\overline{a_1a_2a_3}=289\) hoặc \(\overline{a_1a_2a_3}=361.\)

Lời giải:

Theo đề bài ta có:
\(A=\overline{a_1a_2a_3}.10^6+\overline{b_1b_2b_3}.10^3+\overline{a_1a_2a_3}=\overline{a_1a_2a_3}.10^6+2.\overline{a_1a_2a_3}.10^3+\overline{a_1a_2a_3}\)

\(=\overline{a_1a_2a_3}(10^6+2.10^3+1)=\overline{a_1a_2a_3}(10^3+1)^2\)

\(=\overline{a_1a_2a_3}[(10+1)(10^2-10+1)]^2=\overline{a_1a_2a_3}.11^2.91^2=\overline{a_1a_2a_3}.11^2.7^2.13^2\)

Theo dạng của $A$ ta thấy $\overline{a_1a_2a_3}$ là bình phương của 1 số nguyên tố.

Đặt $\overline{a_1a_2a_3}=p^2$. Dễ thấy $a_1<5$ vì nếu $a_1\geq 5$ thì $\overline{b_1b_2b_3}=2\overline{a_1a_2a_3}\geq 1000$ (vô lý). Khi đó:

$100\leq \overline{a_1a_2a_3}=p^2\leq 499$

$\Rightarrow 10\leq p\leq 22$. Mà $p$ nguyên tố nên $p=11; 13;17;19$

Khi đó thay vào tìm được $\overline{a_1a_2a_3}=121; 169; 289; 361$

$\Rightarrow \overline{b_1b_2b_3}=242; 338; 578; 722$ (tương ứng)

Khi đó bạn ghép lại để viết ra số A thôi.

Nếu $p_1,p_2,p_3,p_4$ là 4 số nguyên tố khác nhau thì loại TH $\overline{a_1a_2a_3}=121; 169$.

 Đáp án: C

=>\(\dfrac{10a+b}{10b+c}=\dfrac{b}{c}\)

=>10ac+bc=10b^2+bc

=>ac=b^2

=>a/b=b/c=k

=>a=bk; b=ck

=>a=ck^2; b=ck

\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{c^2k^4+c^2k^2}{c^2k^2+c^2}=k^2\)

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{ck^2}{c}=k^2\)

=>\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{c}\)

Có bạn để nhờ mà không nhờ nhỉ :<

Bài 2 :

a) \(10\le\overline{a_7a_8}\le31\) để \(100\le\left(\overline{a_7a_8}\right)^2\le999\) là số có ba chữ số.

Với mỗi số trong khoảng \(\left\{10;11;12;...;31\right\}\) ta lại có một số \(\overline{a_1a_2a_3}\) khác nhau; còn a₄; a₅; a₆ tùy ý.

b) Trước hết : \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\)

Trước hết để a₇a₈ khi lập phương lên sẽ vẫn có chữ số tận cùng ban đầu thì \(a_8\in\left\{0;1;4;5;6;9\right\}\)

Giả sử a₈ = 0 thì số a₄a₅a₆a₇a₈ chia hết cho 10³ = 1000; hay a₇ phải bằng 0; loại.

Nếu a₈ = 1 thì xét \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\) có số 31 không thỏa mãn.

Tương tự xét các trường hợp còn lại khi đã có giới hạn \(23\le\overline{a_7a_8}\le46\).

Bài 1 :

Không đủ dữ kiện.

Ngộ nhỡ m = n = 2 thì điều phải chứng minh là sai.