\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)\)

\(=4m^2-8m+4+8m=4m^2+4>=4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

a) ∆' = [-(m - 3)]² - (m² + 3)

= m² - 6m + 9 - m² - 3

= -6m + 6

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì ∆' ≥ 0

⇔ -6m + 6 ≥ 0

⇔ 6m ≤ 6

⇔ m ≤ 1

Vậy m ≤ 1 thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm

b) Theo định lý Viét, ta có:

x₁ + x₂ = 2(m - 3) = 2m - 6

x₁x₂ = m² + 3

Ta có:

(x₁ - x₂)² - 5x₁x₂ = 4

⇔ x₁² - 2x₁x₂ + x₂² - 5x₁x₂ = 4

⇔ x₁² + 2x₁x₂ + x₂² - 2x₁x₂ - 2x₁x₂ - 5x₁x₂ = 4

⇔ (x₁ + x₂)² - 9x₁x₂ = 4

⇔ (2m - 6)² - 9(m² + 3) = 4

⇔ 4m² - 24m + 36 - 9m² - 27 = 4

⇔ -5m² - 24m + 9 = 4

⇔ 5m² + 24m - 5 = 0

⇔ 5m² + 25m - m - 5 = 0

⇔ (5m² + 25m) - (m + 5) = 0

⇔ 5m(m + 5) - (m + 5) = 0

⇔ (m + 5)(5m - 1) = 0

⇔ m + 5 = 0 hoặc 5m - 1 = 0

*) m + 5 = 0

⇔ m = -5 (nhận)

*) 5m - 1 = 0

⇔ m = 1/5 (nhận)

Vậy m = -5; m = 1/5 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu

a: \(\Delta=\left[-2\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m^2+3\right)\)

\(=\left(2m-6\right)^2-4\left(m^2+3\right)\)

\(=4m^2-24m+36-4m^2-12=-24m+24\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta>=0\)

=>-24m+24>=0

=>-24m>=-24

=>m<=1

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left[-2\left(m-3\right)\right]}{1}=2\left(m-3\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+3\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2-5x_1x_2=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-5x_2x_1=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-9x_1x_2=4\)

=>\(\left(2m-6\right)^2-9\left(m^2+3\right)=4\)

=>\(4m^2-24m+36-9m^2-27-4=0\)

=>\(-5m^2-24m+5=0\)

=>\(-5m^2-25m+m+5=0\)

=>\(-5m\left(m+5\right)+\left(m+5\right)=0\)

=>(m+5)(-5m+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+5=0\\-5m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-5\left(nhận\right)\\m=\dfrac{1}{5}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

|x1|=3|x2|

=>|2m+2-x2|=|3x2|

=>4x2=2m+2 hoặc -2x2=2m+2

=>x2=1/2m+1/2 hoặc x2=-m-1

Th1: x2=1/2m+1/2

=>x1=2m+2-1/2m-1/2=3/2m+3/2

x1*x2=m^2+2m

=>1/2(m+1)*3/2(m+1)=m^2+2m

=>3/4m^2+3/2m+3/4-m^2-2m=0

=>m=1 hoặc m=-3

TH2: x2=-m-1 và x1=2m+2+m+1=3m+3

x1x2=m^2+2m

=>-3m^2-6m-3-m^2-2m=0

=>m=-1/2; m=-3/2

`1)`

$a\big)\Delta=7^2-5.4.1=29>0\to$ PT có 2 nghiệm pb

$b\big)$

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{7}{5}\\x_1x_2=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x_1-\dfrac{7}{5}\right)x_1+\dfrac{1}{25x_2^2}+x_2^2\\ \Rightarrow A=\left(x_1-x_1-x_2\right)x_1+\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\cdot\dfrac{1}{x_2^2}+x_2^2\\ \Rightarrow A=-x_1x_2+\left(x_1x_2\right)^2\cdot\dfrac{1}{x_2^2}+x_2^2\)

\(\Rightarrow A=-x_1x_2+x_1^2+x_2^2\\ \Rightarrow A=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\\ \Rightarrow A=\left(\dfrac{7}{5}\right)^2-3\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{34}{25}\)

a: Khi m=1 thì phương trình sẽ là x^2-2x-3=0

=>x=3 hoặc x=-1

b: Δ=(m+1)^2-4(m-4)

=m^2+2m+1-4m+16

=m^2-2m+17

=(m-1)^2+16>=16>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

x1+x2=m+1;x2x1=m-4

(x1^2-mx1+m)(x2^2-mx2+m)=2

=>(x1*x2)^2-m*x2*x1^2+m*x1^2-m*x1*x2^2+m*x1*x2-m^2*x1+m*x2^2-m^2*x2+m^2=2

=>(x1*x2)^2-m*x1*x2(x1+x2)+mx1^2+m*(m-4)-m^2*x1+m*x2^2-m^2*x2+m^2=2

=>(m-4)^2-m*(m-4)(m+1)+m(m-4)-m^2(x1+x2)+m*(x1^2+x2^2)+m^2=2

=>(m-4)^2-m(m^2-3m-4)+m^2-4m-m^2(m+1)+m*[(m+1)^2-2(m-4)]+m^2=2

=>m^2-8m+16-m^3+3m^2+4m+m^2-4m-m^3-m^2+m^2+m[m^2+2m+1-2m+8]=2

=>-2m^3+3m^2-8m+16+m^3+9m-2=0

=>-m^3+3m^2+m+14=0

=>\(m\simeq4,08\)

a: Thay m=4 vào phương trình, ta được:

\(x^2-4x+4-1=0\)

=>\(x^2-4x+3=0\)

=>(x-1)(x-3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

b: \(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot1\left(m-1\right)\)

\(=16-4m+4=-4m+20\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+20>0

=>-4m>-20

=>\(m< 5\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{\left(-4\right)}{1}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=20\)

=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+2\left(x_1+x_2\right)=20\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=20\)

=>\(4^2-2\cdot\left(m-1\right)+2\cdot4=20\)

=>-2(m-1)+24=20

=>-2(m-1)=-4

=>m-1=2

=>m=3(nhận)

Δ=(2m-2)^2-4(m-3)

=4m^2-8m+4-4m+12

=4m^2-12m+16

=4m^2-12m+9+7=(2m-3)^2+7>=7>0 với mọi m

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

\(\left(\dfrac{1}{x1}-\dfrac{1}{x2}\right)^2=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}-\dfrac{2}{x_1x_2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)}{\left(x_1\cdot x_2\right)^2}-\dfrac{2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{\left(2m-2\right)^2-2\left(m-3\right)}{\left(-m+3\right)^2}-\dfrac{2}{-m+3}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{4m^2-8m+4-2m+6}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{4m^2-10m+10+2m-6}{\left(m-3\right)^2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\sqrt{11}\left(m-3\right)^2=2\left(4m^2-8m+4\right)\)

=>\(\sqrt{11}\left(m-3\right)^2=2\left(2m-2\right)^2\)

=>\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m-3}{2m-2}\right)^2=\dfrac{2}{\sqrt{11}}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-3}{2m-2}=\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{11}}}\\\dfrac{m-3}{2m-2}=-\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{11}}}\end{matrix}\right.\)

mà m nguyên

nên \(m\in\varnothing\)

Câu a:

Đặt \(x^2=t\left(t>0\right)\)phương trinh \(x^4+\left(1-m\right)x^2+2m-2=0\left(1\right)\)trở thành \(t^2+\left(1-m\right)t+2m+2=0\left(2\right)\)

         Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt tức

         \(\Delta>0\Leftrightarrow\left(1-m\right)^2-4\left(2m-2\right)>0\)

         \(m^2-10m+9>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-9\right)>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>9\\m< 1\end{cases}}\)

Câu b:

phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(t_1,t_2\)tương ứng phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3,x_4\)thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}t_1=-x_1=x_3\\t_2=-x_2=x_4\end{cases}}\)(theo tính chất đối xứng nghiệm của hàm trùng phương bậc 4)

theo viet ta có :\(\hept{\begin{cases}t_1+t_2=1-m\\t_1t_2=2m-2\end{cases}}\)

Xét \(\frac{x_1x_2x_3}{2x_4}+\frac{x_1x_2x_4}{2x_3}+\frac{x_1x_3x_4}{2x_2}+\frac{x_2x_3x_4}{2x_1}=2013\)

\(VT=\frac{\left(x_1x_2x_3\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_1x_2x_4\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_1x_3x_4\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_4x_2x_3\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}\)

\(=\frac{\left(x_1x_2\right)^2\left(x^2_3+x^2_4\right)}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_4x_3\right)^2\left(x_1^2+x_2^2\right)}{2x_1x_2x_3x_4}\)

thay biến x bằng biến t ta có

\(VT=\frac{\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}+\frac{\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}=\frac{2\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}\)

\(=\left(t_1t_2\right)\left(t_1^2+t^2_2\right)=\left(t_1^2+t^2_2-2t_1t_2\right)t_1t_2\)

thế m theo viet vào ta có :

\(\left(2m-2\right)\left(\left(1-m\right)^2-2\left(2m-2\right)\right)=2013\)

\(\Leftrightarrow2m^3-8m^2+17m-2023=0\)

Đến đây giải dễ rùi bạn gải nốt tìm m nhé

a: \(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4m\left(m+3\right)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2-12m\)

\(=-8m+1\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

\(\Leftrightarrow-8m+1>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-1\)

hay \(m< \dfrac{1}{8}\)

Nếu phương trình là \(\left(2m^2-5m+2\right)\left(x-1\right)^{2021}\left(x^{2020}-2\right)+2x^2-3=0\) thì còn có cơ hội giải quyết

Chứ đề đúng thế này thì e rằng không có cơ hội nào cả.