\(\left\{{}\begin{matrix}A=\left(a^4+b^4\right)\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{4ab}{2}\right]^2}{2}\\B=\left(c^4+d^4\right)\ge\left(c^2+d^2\right)^2\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(c+d\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{4cd}{2}\right]^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge\dfrac{\left(2ab\right)^2}{2}\\B\ge\dfrac{\left(2cd\right)^2}{2}\end{matrix}\right.\)(1)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge0\\B\ge0\end{matrix}\right.\)(2)

(1) và (2) \(\Rightarrow A+B\ge\dfrac{\left(2ab\right)^2+\left(2cd\right)^2}{2}\ge\dfrac{2\left(4abcd\right)}{2}=4abcd\)

đẳng thức khi a=b=c=d

Ta có BĐT \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\)

Vậy ta có: \(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\)

\(c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\)

Lại có: \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2\sqrt{\left(ab\right)^2\left(cd\right)^2}=2abcd\)

\(\Rightarrow2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\ge2\cdot2abcd=4abcd\)

\(\Rightarrow VT=a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^4=b^4\\c^4=d^4\\\left(ab\right)^2=\left(cd\right)^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\c=d\\ab=cd\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)

giá mà chi a,b,c,d dương

Bn xem lại  đề ,sao lại là a= b=c-d?

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm : \(a^4,b^4,c^4,d^4\), ta được  ;

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4.\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}=4abcd\)

Dấu đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = d

Do đó, ta có đpcm.

Hoàng Lê Bảo Ngọc: để này là phải đung hằng đẳng thức để chứng minh chứ

Cho 4 số a,b,c,d dương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 sô

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt{4}\left(a^4.b^4.c^4.d^4\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) (ĐPCM)

C1: Do \(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0\) nên áp dụng BĐT cauchy cho 4 số không âm ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}=4abcd\)

C2: Ta có: \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^4.b^4}+2\sqrt{c^4.d^4}=\)

\(=2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2+2c^2d^2}=4abcd\)

Sửa lại đoạn \(2\sqrt{2a^2b^2+2c^2d^2}\) thành \(2\sqrt{2a^2b^2.2c^2d^2}\) nhé

`a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd`

`<=>a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2`

`<=>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)>=0`

`<=>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0`

Vì `VT>=0AA a,b,c,d`

Dấu "=" xảy ra khi `a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd`

`<=>a=b=c=d`

áp dụng BDT AM-GM

\(=>a^4+b^4\ge2\sqrt{\left(ab\right)^4}=2a^2b^2\left(1\right)\)

\(=>c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\left(2\right)\)

(1)(2)\(=>a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)

dấu"=" xảy ra\(< =>\left\{{}\begin{matrix}a^4=b^4\\c^4=d^4\end{matrix}\right.< =>a=b=c=d}\)

a/

Từ x + y + z = 0 
=> x + y = -z 
<=> (x + y)^3 = (-z)^3 
<=> x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = -z^3 
<=> x^3 + y^3 + z^3 = -3x^2y - 3xy^2 
<=> x^3 + y^3 + z^3 = -3xy(x+y) 
<=> x^3 + y^3 + z^3 = -3xy(-z) 
<=> x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz 

Học tốt

câu a bạn phân tích \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ac\right)\)

rồi suy ra bình thường nha

\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow a^4-2^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=\left(a^2+b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab+cd\right)^2\)