Cho tam giác ABC nhọn nôi tiếp đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Vẽ đường kính AK của đường tròn tâm O
a,Tam giác ABK và tam giác ACK là tam giác gì ?
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O có H là trực tâm. Vẽ đường kính AK của (O).
a) Tam giác ABK và tam giác ACK là tam giác gì?
b) Tứ giác BHCK là hình gì?
c) Kẻ OM vuông góc BC ở M. CM: M là trung điểm của BC, HK.
d) CM: OM = 1/2 AH.
\(a,\widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta ABK;\Delta ACK\) vuông tại B và C
\(b,\left\{{}\begin{matrix}CK//BH\left(\perp AC\right)\\BK//CH\left(\perp AB\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow BHCK\) là hbh
\(c,\left\{{}\begin{matrix}AO=OM=R\\OM//AH\left(\perp BC\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow HM=MK\)
Hình bình hành BHCK có M là trung điểm HK nên cũng là trung điểm BC
\(d,\left\{{}\begin{matrix}AO=OK=R\\HM=MK\left(cm.trên\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow OM\) là đtb tam giác AHK
\(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB<AC).Gọi H là trực tâm, gọi M là giao điểm của AH với đường tròn (O). Vẽ đường kính AK của (O)
a)Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành
ai giúp mik vs
a: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp đường tròn
AK là đường kính
Do đó: ΔABK vuông tại B
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp đường tròn
AK là đường kính
Do đó: ΔACK vuông tại C
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, AH cắt đường tròn tại E. Vẽ đường kính AOF
a/ chứng minh tứ giác BEFC là hình thang cân
giúp mình với
Cho đường tròn (O) , đường kính BC=2R , điểm Anằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn . Từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn tâm (O)(M,N là hai tiếp điểm ). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC . CHỨNG MINH RẰNG :
a) Năm điểm M,A,F,O,N cùng nằm trên một đường tròn
b) Ba điểm M,H,N thẳng hàng
c) HA.HF=R^2 - OH^2
a: góc AMO=góc AFO=góc ANO=90 độ
=>A,M,F,O,N cùng thuộc 1 đường tròn
b: Gọi I là giao của MN với AO
=>I là trung điểm của MN
AI*AO=AM^2
Xét ΔAMH và ΔAFM có
góc AMH=góc AFM
góc MAH chung
=>ΔAMH đồng dạng với ΔAFM
=>AH*AF=AI*AO
=>góc AHI=góc AOF
=>OFHI nội tiếp
=>M,N,H thẳng hàng
Cho tam giác ABC có A=75 , C=45 và AC=a\(\sqrt{2}\) . Vẽ đường cao AK
a, Tính AB , KC theo a
b, Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính OHC
c, Gọi I là tâm đt nội tiếp tam giác ABC . Tính bán kính đt ngoại tiếp tam giác HOT theo a
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC.
AD là đường kính của (O). E thuộc AC sao cho HE//BC.
1). Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên (O)
2). Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng BE, CF và IH đồng quy.
1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do H E ∥ B C ⊥ H A ), nên tứ giác APEH nội tiếp.
Ta có A P H ^ = A E H ^ (góc nội tiếp)
= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)
⇒ P H ≡ P B
2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^
Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF
Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF
Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.
Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B
Tương tự F I ∥ H C ; E F ∥ B C ⇒ Δ I E F v à Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, đường cao AD. Đường tròn tâm ),đường kính BC. Vẽ AM và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn.
a. Chứng minh 5 điểm M, N, O, D. A cùng thuộc một đường tròn
b. Gọi MN cắt AD tại H. Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC
a) Ta có: \(\widehat{AMO}=\widehat{ADO}=\widehat{ANO}=90^o\) nên \(M,N,D\) cùng nhìn \(AO\) dưới một góc vuông suy ra \(M,D,O,N,A\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AC\) và đường tròn \(\left(O\right)\).
\(\Delta ANF\sim\Delta ACN\left(g.g\right)\) suy ra \(AN^2=AC.AF\).
Xét tam giác \(AHN\) và tam giác \(AND\):
\(\widehat{HAN}=\widehat{NAD}\) (góc chung)
\(\widehat{ANH}=\widehat{ADN}\) (vì \(AMDON\) nội tiếp, \(\widehat{ANH},\widehat{ADN}\) chắn hai cung \(\stackrel\frown{AM},\stackrel\frown{AN}\) mà \(AM=AN\))
\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta AND\left(g.g\right)\)
suy ra \(AN^2=AH.AD\)
suy ra \(AC.AF=AH.AD\)
\(\Rightarrow\Delta AFH\sim\Delta ADC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{ADC}=90^o\)
suy ra \(\widehat{HFC}=90^o\) mà \(\widehat{BFC}=90^o\) (do \(F\) thuộc đường tròn \(\left(O\right)\))
suy ra \(B,H,F\) thẳng hàng do đó \(BH\) vuông góc với \(AC\).
Tam giác \(ABC\) có hai đường cao \(AD,BF\) cắt nhau tại \(H\) suy ra \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
Bạn check lại và đánh lại đề để mình có thể giúp đỡ nha.
Cho tam giác ABC nhọn có ba đỉnh thuộc đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác
ABC. Vẽ đường kính AD.
a) Tứ giác BHCK là hình gì?
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AH=2.OI
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh 3 điểm H, G, O thẳng hàng và GH=2.GO
d) So sánh diện tích hai tam giác AHG và tam giác AOG.
a) chắc đề hỏi là tứ giác BHCD là hình gì chứ ko có điểm K
Vì AD là đường kính \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\angle ACD=90\\\angle ABD=90\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD\bot AC\\BD\bot AB\end{matrix}\right.\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}BH\bot AC\\CH\bot AB\end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(CD\parallel BH,BD\parallel CH\) \(\Rightarrow BHCD\) là hình bình hành
b) Vì BHCD là hình bình hành có I là trung điểm BC
\(\Rightarrow H,I,D\) thẳng hàng và I cũng là trung điểm HD
Xét \(\Delta AHD\) có O là trung điểm AD,I là trung điểm HD
\(\Rightarrow OI\) là đường trung bình \(\Rightarrow OI=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2OI\)
c) AI cắt HO tại G'.
Vì \(OI\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{OI}=\dfrac{AG'}{G'I}\Rightarrow\dfrac{AG'}{G'I}=2\Rightarrow\dfrac{AG'}{AI}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow G'\) là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow G\equiv G'\Rightarrow\) đpcm
Vì \(OI\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{GH}{GO}=\dfrac{AH}{OI}=2\Rightarrow GH=2GO\)
d) Kẻ \(AF\bot HO\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{AOG}=\dfrac{1}{2}.AF.OG\\S_{AHG}=\dfrac{1}{2}.AF.HG\end{matrix}\right.\)
mà \(GH=2GO\Rightarrow S_{AHG}=2S_{AOG}\)