a, Theo định lí Pytago tam giác AHC vuông tại H

\(AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{64+36}=10\)cm 

Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

mà AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến 

=> HC = HB = 6 cm 

b, Vì tam giác ABC cân tại A => ^ABC = ^ACB 

c, Vì tam giác ABC cân tại A, AH đồng thời là đường phân giác 

=> ^BAH = ^HAC 

Xét tam giác AMH và tam giác ANH có : 

^AMH = ^ANH = 90⁰

AH _ chung 

^BAH = ^NAH ( cmt ) 

Vậy tam giác AMH = tam giác ANH ( ch - gn ) 

=> MH = NH ( 2 cạnh tương ứng ) 

Xét tam giác HMN có MH = NH ( cmt ) 

=> tam giác HMN cân tại H

a, Ta có: $HM⊥AB;HN⊥AC$

$⇒\widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^o$

$⇒\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=180^o$

$⇒$ Tứ giác $AMHN$ nội tiếp (Tổng 2 góc đối $=180^o$)
b, Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$
Đường cao $HM$ (do $HM⊥AB$)

Nên $AH^2=AM.AB(1)$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$
Đường cao $HN$ (do $HN⊥AB$)

Nên $AH^2=AN.AC(2)$

Từ $(1)(2)⇒AM.AB=AN.AC$
$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

Xét tam giác $AMN$ và tam giác $ACB$ có:

$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
$\widehat{A}$ chung

$⇒$  tam giác $AMN$ $\backsim$ tam giác $ACB(c.g.c)$

(đpcm)

c,  tam giác $AMN$ $\backsim$ tam giác $ACB$

$⇒\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$

Xét $(O)$ có: $\widehat{ABC}=\widehat{AEC}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

Nên $\widehat{ANM}=\widehat{AEC}$

Hay  $\widehat{ANI}=\widehat{IEC}$

$⇒$ Tứ giác $CEIN$ nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong đỉnh đối diện)

c, Ta có: $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{AKC}=180^o$

do tứ giác $ABCK$ nội tiếp $(O)$

Nên $\widehat{ANM}+\widehat{AKC}=180^o$

Mà $\widehat{ANM}+\widehat{ANK}=180^o$

Nên $\widehat{AKC}=\widehat{ANK}$

Xét tam giác $AKC$ và tam giác $ANK$ có:

$\widehat{AKC}=\widehat{ANK}$

$\widehat{A}$ chung

nên  tam giác $AKC$ $\backsim$ tam giác $ANK(g.g)$

$⇒\dfrac{AK}{AN}=\dfrac{AC}{AK}$

$⇒AK^2=AN.AC$

mà $AH^2=AN.AC(cmt)$

$⇒AK^2=AH^2$

hay $AK=AH$

suy ra tam giác $AHK$ cân tại $A$

Nguyễn Lê Phước Thịnh

Akai Haruma     Trần Đức Mạnh  Nguyễn Việt Lâm