Cho x,y,z>0 thỏa mãn \(x+y+z\le1\). Chứng minh rằng :
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)
Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+ y + z ≤ 1. Chứng minh rằng :
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge35\)
Áp dụng BĐT BSC và BĐT Cosi:
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\ge17\left(x+y+z\right)+\dfrac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\)
\(=17\left(x+y+z\right)+\dfrac{18}{x+y+z}\)
\(=17\left(x+y+z\right)+\dfrac{17}{x+y+z}+\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\ge2\sqrt{17\left(x+y+z\right).\dfrac{17}{x+y+z}}+\dfrac{1}{1}\)
\(=35\)
\(\Rightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge35\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
\(17x+\dfrac{17}{9x}\ge\dfrac{34}{3}\)
tương tự.....
suy ra
\(17\left(x+y+z\right)+\dfrac{17}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{34}{3}.3=34\)
lại có
\(\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{9}{x+y+z}.\dfrac{1}{9}=1\)
nên
\(17\left(x+y+z\right)+\dfrac{17}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=17\left(x+y+z\right)+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge35\)
Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn xyz <=1 . Chứng minh rằng
\(\frac{x\left(1-y^3\right)}{y^3}+\frac{y\left(1-z^3\right)}{z^3}+\frac{z\left(1-x^3\right)}{x^3}\ge0\)0
1) Cho x,y,z>0 thoả mãn : xyz<=1. Chứng minh rằng: \(\frac{x\left(1-y^3\right)}{y^3}\)+ \(\frac{y\left(1-z^3\right)}{z^3}\)+\(\frac{z\left(1-x^3\right)}{x^3}\)>=0
2) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x ≥ z. CMR: xz /(y^2 + yz) + y^2 / (xz + yz) + (x + 2z)/(x + z) ≥ 5/2
Cho \(x,y,z>2\) thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\). Chứng minh rằng :
\(\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
Đặt x-2=a; y-2=b; z-2=c (a,b,c>0)
Ta có: \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)
<=>\(\frac{1}{a+2}=1-\frac{1}{b+2}-\frac{1}{c+2}\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{b+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{c+2}\)
<=>\(\frac{1}{a+2}=\frac{b}{2\left(b+2\right)}+\frac{c}{2\left(c+2\right)}\ge2\sqrt{\frac{bc}{4\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{b+2}\ge\sqrt{\frac{ca}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}}\left(2\right);\frac{1}{c+2}\ge\sqrt{\frac{ab}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\left(3\right)\)
Nhân (1),(2),(3) vế theo vế ta được:
\(\frac{1}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\ge\sqrt{\frac{\left(abc\right)^2}{\left[\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\right]^2}}\)
<=> \(\frac{1}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\ge\frac{abc}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow abc\le1\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3
Chia hai vế của cho xyz khác 0, ta cần chứng minh:
\(\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(1-\frac{2}{y}\right)\left(1-\frac{2}{z}\right)\le\frac{1}{xyz}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Bài toán trở thành:
Cho 0 <a,b,c \(< \frac{1}{2}\) thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng:
\(\left(1-2a\right)\left(1-2b\right)\left(1-2c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
BĐT đến đây trở về dạng quen thuộc! Hoặc không thì nó hiển nhiên đúng theo BĐT Schur
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{z}\right)\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\)
áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{y}\right)\ge\sqrt{\frac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{yz}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}{xz}};\frac{1}{z}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}{xy}}\)
Nhân theo vế ta được \(\frac{1}{xyz}\ge\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:
\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=2\)
Ta có:
\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)
\(1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A được:
\(P=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(=xy+xz+xy+yz+xz+zy\)
\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=2\)(do xy+yz+xz=1)
=>Đpcm
Dạng toán này rất nhiều bạn hỏi rồi: thay \(xy+yz+zx=1\) vào các căn thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
Giả sử x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=xyz. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Cho x,y,z thỏa mãn \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)
Chứng minh rằng \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right)\)
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z = 0
Chứng minh \(P=\frac{x\left(x+2\right)}{2x^2+1}+\frac{y\left(y+2\right)}{2y^2+1}+\frac{z\left(z+2\right)}{2z^2+1}\ge0\)
CHo x,y,z>2 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) CMR: \(\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)