\(m^3+n^3+p^3-3mnp=\left(m^3+3m^2n+3mn^2+n^3\right)+p^3-3mnp-3m^2n-3mn^2=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left[\left(m+n\right)^2-\left(m+n\right)p-p^2\right]-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2-3mn\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-mp\right)\)

\(m^3+n^3+p^3-3nmp\)

\(=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n\right)-3mnp\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-pm-pn+p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-pm-pn-mn\right)\)

Có m + n + p = 15

=> (m + n + p)² = 15²

=> m² + n² + p² + 2mn + 2np + 2pm = 225

Mà  m² + n² + p² = 77

=> m² + n² + p² + 2mn + 2np + 2pm - (m² + n² + p²) = 225 - 77

=> 2mn + 2np + 2pm = 148

=> 2(mn + np + pm) = 148

=> mn + np + pm = 74

cảm ơn bạn nhiều nha 

tối mk làm ,bây giờ bận rùi , bye, mk xem rùi, đề k sai

m+n+p=15=>(m+n+p)^2=225

(m^2+n^2+p^2+mn+mp+np)=225

77+mn+mp+np=225

mn+mp+np=148

Bài 4: 

Ta có: \(\left(x^3-x^2\right)-4x^2+8x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

1. Theo đầu bài ta có:
\(x^3+3xy+y^3\)
\(=\left(x^3+y^3\right)+3xy\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)+3xy\)
Do x + y = 1 nên:
\(=\left(x^2+y^2-xy\right)+3xy\)
\(=x^2+y^2+\left(3xy-xy\right)\)
\(=x^2+y^2+2xy\)
\(=\left(x+y\right)^2\)
Do x + y = 1 nên:
\(=1^2=1\)

2. Theo đầu bài ta có:
\(m+n+p=15\)
\(\Rightarrow\left(m+n+p\right)^2=15^2\)
\(\Rightarrow m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2mp=225\)
Do m² + n² + p² = 77 nên:
\(\Rightarrow77+2\left(mn+np+mp\right)=225\)
\(\Rightarrow2\left(mn+np+mp\right)=225-77\)
\(\Rightarrow mn+np+mp=\frac{148}{2}\)
\(\Rightarrow mn+np+mp=74\)

a) Vì m, n, p là các số tự nhiên lẻ nên ta có thể đặt m = 2a + 1; n = 2b + 1; p = 2c + 1

Khi đó

 \(mn+np+pm=\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)+\left(2b+1\right)\left(2c+1\right)+\left(2c+1\right)\left(2a+1\right)\)

\(=4ab+2a+2b+1+4bc+2b+2c+1+4ca+2c+2a+1\)

\(=4\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)+3\)

Vậy thì mn + np + pm chia 4 dư 3.

b) Ta chứng minh một số chính phương n chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Thật vậy:

Nếu n là bình phương số chẵn thì n = (2k)² = 4k² chia hết 4

Nếu n là bình phương số lẻ thì n = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 chia 4 dư 1.

Vậy do mn + np + pm chia 4 dư 3 nên mn + np + pm không là số chính phương.