BT: Với góc nhọn \(\alpha\) \(\left(0^o<\alpha<90^o\right)\), CMR : \(\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\tan^2\alpha}+1\)
1. Với \(\alpha\) là góc nhọn và \(\tan\alpha=\dfrac{1}{2}\). Không dùng máy tính hãy tính \(\cos\left(90^o-\alpha\right)\)
2.
a. \(\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\). Tính \(\tan\alpha\)
b. so sánh \(\tan28^o\) và \(\sin28^o\)
Câu 1:
Ta có: \(\cos\left(90^0-\alpha\right)=\sin\alpha\)
\(\Leftrightarrow\sin\alpha=1:\sqrt{\dfrac{1^2+2^2}{1}}=1:\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
Câu 2:
a) \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}\)
\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{4}{5}:\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{3}\)
1. Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(60^0\le\alpha< 90^0.\) Tìm GTNN của \(\left(\tan\alpha-1\right)^2+\left(\frac{1}{\tan\alpha}-1\right)^2\)
2. Với giá trị nào của góc nhọn x thì \(P\left(x\right)=3\sin x+\sqrt{3}\cos x\) có GTNN? Tìm GTNN đó.
Câu 2 đề sai, phải là tìm \(max\) bạn nhé.
Đặt \(a=\sin x,b=\cos x\) thì \(P\left(x\right)=3a+\sqrt{3}b\) với \(a^2+b^2=1\)
(Tư tưởng Cauchy-Schwarz quá rõ)
Ta có \(\left(a^2+b^2\right)\left(9+3\right)\ge\left(3a+\sqrt{3}b\right)^2=P^2\left(x\right)\)
Suy ra \(P\left(x\right)\le2\sqrt{3}\). Đẳng thức xảy ra tại \(x=60\) độ.
Câu 1 để mình suy nghĩ sau.
1.Cho các góc\(\alpha,\beta\)nhọn và \(\alpha< \beta\). Chứng minh \(\sin\left(\beta-\alpha\right)=\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha\)
2.Cho các góc \(\alpha,\beta\)nhọn và \(\alpha< \beta\).Chứng minh \(\cos\left(\beta-\alpha\right)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\)
3.Cho các góc \(\alpha,\beta\)nhọn. Chứng minh \(\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\)
4.Cho các góc \(\alpha,\beta\)nhọn. Chứng minh \(\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
Chứng minh rằng: \(\cos^4\alpha\left(2\cos^2\alpha-3\right)+\sin^4\alpha\left(\sin^2\alpha-3\right)=-1\)1 với a là góc nhọn
Cho góc nhọn α
a) Rút gọn biểu thức S=\(\cos^2\alpha+tg^2.\cos^2\alpha\)
b) Chứng minh:
\(\dfrac{\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2-\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2}{\sin\alpha.\cos\alpha}=4\)
Help me plsssssssssss
\(\dfrac{\left(sina+cosa\right)^2-\left(sina-cosa\right)^2}{sina.cosa}=4\\ VT=\dfrac{sin^2a+2sinacosa+cos^2a-sin^2a+2sinacosa-cos^2a}{sinacosa}\\ =\dfrac{4sinacosa}{sinacosa}=4=VP\)
a: \(S=cos^2a\left(1+tan^2a\right)=cos^2a\cdot\dfrac{1}{cos^2a}=1\)
b: \(VP=\dfrac{1+sin2a-1+sin2a}{\dfrac{1}{2}\cdot sin2a}=\dfrac{2\cdot sin2a}{\dfrac{1}{2}\cdot sin2a}=4=VT\)
a) S= \(cos^2a\left(tg^2a+1\right)=cos^2a.\dfrac{1}{cos^2a}=1\)
Chứng minh rằng với mọi góc \(\alpha \;\;({0^o} \le \alpha \le {180^o})\), ta đều có:
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\;({0^o} < \alpha < {180^o},\alpha \ne {90^o})\)
c) \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;(\alpha \ne {90^o})\)
d) \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;({0^o} < \alpha < {180^o})\)
a)
Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)
Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.
Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha = \widehat {xOM}\)
Do đó: \(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}} = MH;\;\cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}} = OH.\)
\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = O{H^2} + M{H^2} = O{M^2} = 1\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\\ \Rightarrow \;\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\end{array}\)
c) Với \(\alpha \ne {90^o}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;\end{array}\)
d) Ta có:
\(\begin{array}{l}\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;\end{array}\)
Cho \(cot\alpha=\dfrac{a^2-b^2}{2ab}\). Trong đó \(\alpha\) là góc nhọn, a>b>0. Tính \(cos\alpha\)
\(cot^2a=\left(\dfrac{a^2-b^2}{2ab}\right)^2\Leftrightarrow\dfrac{cos^2a}{sin^2a}=\dfrac{a^4+b^4-2a^2b^2}{4a^2b^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{cos^2a}{sin^2a}+1=\dfrac{a^4+b^4-2a^2b^2}{4a^2b^2}+1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{sin^2a}=\dfrac{a^4+b^4+2a^2b^2}{4a^2b^2}\)
\(\Leftrightarrow sin^2a=\dfrac{4a^2b^2}{a^4+b^4+2a^2b^2}\)
\(\Leftrightarrow cos^2a=1-sin^2a=1-\dfrac{4a^2b^2}{a^4+b^4+2a^2b^2}=\dfrac{a^4+b^4-2a^2b^2}{a^4+b^4+2a^2b^2}\)
\(\Leftrightarrow cos^2a=\left(\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow cosa=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)
có bao nhiêu phép quay tâm O góc \(\alpha\left(0\le\alpha\le2\pi\right)\) biến tam giác đều tâm O thành chính nó ?
Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng b, góc nhọn kề với nó bằng \(\alpha\)
a) Hãy biểu thị cạnh góc vuông kia, góc nhọn kề với cạnh này và cạnh huyền qua b và \(\alpha\)
b) Hãy tìm các giá trị của chúng khi \(b=12cm,\alpha=42^0\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)