Soeasy''ss :v

Ta có: BĐT đã cho ;v

\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+ba^3+b^4\le2\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le a^4+b^4-ab^3-ba^3\)

\(\Leftrightarrow0\le a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)(Luônđúng)

Vậy ta có đpcm

\(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+a^3b+ab^3+b^4\le2a^4+2b^4\)

\(\Leftrightarrow a^3b-a^4+ab^3-b^4\le0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(b-a\right)+b^3\left(a-b\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b^3-a^3\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\le0\) (luôn đúng)

Vậy...

a + b a + b ≤ 2 a + b

⇔a + a b + ab + b ≤ 2a + 2b

⇔a b − a + ab − b ≤ 0

⇔a b − a + b a − b ≤ 0

⇔ a − b b − a ≤ 0

⇔− a − b a + ab + b ≤ 0 

tự kết luận

Bn tham khảo câu hỏi này nhé :

Câu hỏi của zZz Phan Cả Phát zZz - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+a^3b+b^4\le2\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b\le a^4+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-ab^3-a^3b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)

bạn kham khỏa câu hỏi của:

Câu hỏi của zZz Phan Cả Phát zZz - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

a ) CM : \(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

Giả sử điều cần c/m là đúng

\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)

\(\Rightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+a^3b+b^4+b^3a\)

\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\left(đpcm\right)\)

b ) \(\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(=a^4+a^3b+a^3c+b^3a+b^4+b^3c+c^3a+c^3b+c^4\)

\(=\left(a^4+b^4+c^4\right)+\left(a^3b+b^3a\right)+\left(b^3c+c^3b\right)+\left(a^3c+c^3a\right)\)

CMTT như a ) : \(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\\b^4+c^4\ge b^3c+c^3b\\a^4+c^4\ge a^3c+c^3a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(đpcm\right)\)

wow

wow, chắc xu học lớp 9

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{64}}=\dfrac{3a}{4}\)

Tương tự:

\(\dfrac{b^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{c+a}{8}\ge\dfrac{3b}{4}\)

\(\dfrac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c+a}{8}+\dfrac{a+b}{8}\ge\dfrac{3c}{4}\)

Cộng vế:

\(VT+\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8}\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)