a) ta có: ABCD là hình thang cân 

nên:góc C= góc D=60

mà DB là tia phân giác góc D nên góc ADB= góc BDC=1/2 góc D=1/2*60=30

Trong tam giác BDCcó:góc BDC+góc BCD=30+60=90

nên góc BDC=90

do đó:BD vuông góc với BC

b)Ta có : ABCD là hình thang cân(gt)

nên góc B+góc C=180

mà góc C= 60(gt)

nên góc B=120

Ta lạ có : góc ABD + góc DBC=góc B

nên góc ABD= góc B - góc DBC=90-60=30

mà DB là tia phân giác góc D

nên góc ADB=1/2 góc D=60*1/2=30

Trong tam giác ADB có góc ABD= góc ADB=30

nên tam giác ABD cân tại A

do dó AB=AD=4cm

hay AD=BC=4cm(ABCD là hình thang cân)

Trong tam giác BCD có:góc CBD=90

mà BC=4cm

nên CD=8cm(trong tam giác vuông đối diện với góc 30 bằng nửa cạnh huyền)

Do đó chu ci hình thang cân là (4+8)*2=24cm

a) Ta có: \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\)(ABCD là hình thang cân)

mà \(\widehat{BCD}=60^0\)(gt)

nên \(\widehat{ADC}=60^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BDC}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Xét ΔBDC có \(\widehat{BDC}+\widehat{BCD}=90^0\)

nên ΔBDC vuông tại B(Định lí tam giác vuông)

a) Gọi \(\widehat{ADB}=\widehat{D_1;}\widehat{CDB}=\widehat{D_2}\)

Xét Δ vuông BDC ta có :

\(\)\(\widehat{D_2}+\widehat{C}=90^o\)

mà \(\widehat{D_2}=\dfrac{\widehat{D}}{2}\) (DB là phân giác \(\widehat{ADC}\))

     \(\widehat{C}=\widehat{D}\) (ABCD là hình thang cân)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{D}}{2}+\widehat{D}=90^o\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{3D}}{2}=90^o\Rightarrow\widehat{D}=60^o\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{D}=60^o\)

Ta lại có : \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=\widehat{B}\\\widehat{C}=\widehat{D}\end{matrix}\right.\) (ABCD là hình thang cân)

\(\Rightarrow2\widehat{A}+2\widehat{C}=360^o\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\dfrac{360^o-2\widehat{C}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\dfrac{360^o-2.60^o}{2}=120^o\)

b) \(BC=AD=6\left(cm\right)\) (ABCD là hình thang cân)

Xét Δ vuông BDC ta có :

\(Cos60^o=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow DC=2BC=2.6=12\left(cm\right)\)

\(DC^2=BD^2+BC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow BD^2=DC^2-BC^2=12^2-6^2=144-36=108=3.36\)

\(\Rightarrow BD=6\sqrt[]{3}\left(cm\right)\)

Kẻ đường cao AH và BE vuông góc DC tại H và E

Ta có : \(BE.CD=BD.BC\Rightarrow BE=\dfrac{CD}{BD.BC}=\dfrac{12}{6.6\sqrt[]{3}}=\dfrac{1}{3\sqrt[]{3}}\left(cm\right)\)

Xét Δ BEC ta có :

\(BC^2=BE^2+EC^2\Rightarrow EC^2=BC^2-BE^2=36-\dfrac{1}{27}\)

\(\Rightarrow EC^2=\dfrac{971}{27}\Rightarrow EC=\dfrac{1}{3}.\sqrt[]{\dfrac{971}{3}}\left(cm\right)\)

ABHE là hình chữ nhật (AB \(//\) HE;AH \(//\) BE vì cùng vuông với CD; Góc H=90^o )

\(\Rightarrow AB=HE=CD-2EC=12-\dfrac{2}{3}.\sqrt[]{\dfrac{971}{3}}\left(cm\right)\) (tính chất hình thang cân)

Chu vi hình thang cân ABCD :

\(2BC+DC+AB=2.6+12+12-\dfrac{1}{3}.\sqrt[]{\dfrac{971}{3}}=36-\dfrac{1}{3}.\sqrt[]{\dfrac{971}{3}}\left(cm\right)\)

a/

\(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}\)  (gt)

Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\) (góc ở đáy hình thang cân)

\(\Rightarrow\widehat{CDB}=\dfrac{\widehat{BCD}}{2}\)

Xét tg vuông BCD có

\(\widehat{CDB}+\widehat{BCD}=90^o\Rightarrow\dfrac{\widehat{BCD}}{2}+\widehat{BCD}=90^o\Rightarrow\widehat{BCD}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CDB}=\dfrac{\widehat{BCD}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{BCD}=60^o\)

Ta có

\(\widehat{DAB}=\widehat{ABC}\) (góc ở đáy hình thang cân)

\(\widehat{DAB}=180^o-\widehat{ADC}=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=120^o\)

b/ Từ B dựng đường thẳng // AD cắt CD tại E ta có

AB // CD => AD//DE mà BE//AD

=> ABED là hình bình hành

=> BE = AD mà AD = BC (cạnh bên hình thang cân)

=> BE = AD = BC = 6 cm

Xét tg BCE có

BE = BC => tg BCE cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BCD}=60^o\Rightarrow\widehat{CBE}=60^o\) => tg BCE là tg giác đều

=> BE = CE = BC = 6 cm

Xét tg vuông BCD có

\(\widehat{CDB}=30^o\) (cmt) => \(BC=\dfrac{CD}{2}\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow CD=2BC=2.6=12cm\)

\(\Rightarrow DE=CD-CE=12-6=6cm\)

Mà DE = AB = 6 cm (cạnh đối hbh ABED)

\(\Rightarrow C_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=6+6+12+6=30cm\)

Ta có DB là tia pgiac của \(\widehat{ADC}\)

Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\) do 2 góc là góc đáy của hình thang

=>\(\widehat{BDC}=\widehat{DCB}:2\)

Xét ∆ vuông BDC có:

\(\widehat{BDC}+\widehat{DCB}=90^o=>\widehat{DCB}:2+\widehat{DCB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DCB}=60^o\\ \Rightarrow\widehat{BDC}=60^o:2=30^O\)

Ta có: \(\widehat{BAD}=\widehat{ABC}\) (t/chất hthang)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=180^o-\widehat{BDC}=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=120^o\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\left(SLT\right);\widehat{ADB}=\widehat{BDC}\left(GT\right)\\ \Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\Rightarrow AD=AB=BC=4\left(cm\right)\)

(tam giác \(ADB\) cân tại \(A\))

Vì là h.thang cân mà có: BD là phân giác \(\widehat{D}\) nên AC cũng là phân giác \(\widehat{C}\) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\)

Dễ thấy các góc bằng nhau: \(\widehat{BAC}=\widehat{ADB}=\widehat{BDC}=\widehat{ACD}=\widehat{ACB}=\widehat{ABD};\widehat{DBC}=\widehat{DAC}=90\)

\(\Rightarrow6\widehat{BDC}+90+90=360\Rightarrow\widehat{BDC}=30\)

\(\sin\widehat{BDC}=\dfrac{BC}{DC}\Rightarrow DC=\dfrac{BC}{\sin\widehat{BDC}}=\dfrac{4}{\sin30}=8\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow P_{ABCD}=4+4+8+4=20\left(cm\right)\)

Vì AB // DC => góc ABD = góc BDC

Mà góc ADB = góc BDC ( DB là phân giác ADC )

=> góc ABD = góc ADB

=> tam giác ADB cân tại A

=> AD = AB = 4 (cm)

Mà ABCD là hình thang cân 

=> AD = BC = 4 (cm)

Có : góc BDC = 1/2 góc ADC

mà góc ADC = góc BCD ( ABCD là hình thang cân )

=> góc BDC = 1/2 góc BCD => góc BCD = 2 . BDC

Xét tam giác BCD vuông tại B có

BDC + BCD = 90

<=> BDC + 2BDC = 90

<=> BDC = 30

mà BC là cạnh đối diện góc BDC

=> BC = 1/2 BD

Hay 4 = 1/2 BD

=> BD = 8 (cm)

Áp dụng ĐL Pytago vào tam giác BDC vuông tại B được

BC² + DC² = BD²

<=> DC = \(\sqrt{BD^2-BC^2}\)

<=> DC= \(\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\)

Vậy chu vi hình thang ABCD là

AB + BC + CD + AD = 4 + 4 + 4\(\sqrt{3}\) + 4 =12 + 4\(\sqrt{3}\) ( cm )