HS tự chứng minh.

1. \(\left(a+1\right)^2\ge4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1-4a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

Dấu '=' xảy ra khi a=1. Vậy: Ta có đpcm.

a) `4x-2>5x+1`

`<=>-x>3`

`<=>x<-3`

b) Theo BĐT Cauchy:

`a^2+b^2 >= 2ab`

Tương tự:

`b^2+c^2>=2bc`

`c^2+a^2>=2ca`

Cộng vế với vế: `2(a^2+b^2+c^2) >= 2(ab+bc+ca)`

`<=>a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca` (ĐPCM)

a, \(4x-2>5x+1\Leftrightarrow-x>3\Leftrightarrow x< -3\)

b, Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)* luôn đúng *

a) Thay x = 2 vào bất phương trình ta được: x2 = 22 = 4 > 0

Vậy x = 2 là một nghiệm của bất phương trình x2 > 0.

Thay x = -3 vào bất phương trình ta được x2 = (-3)2 = 9 > 0

Vậy x = -3 là một nghiệm của bất phương trình x2 > 0.

b) Với x = 0 ta có x2 = 02 = 0

⇒ x = 0 không phải nghiệm của bất phương trình x2 > 0.

Vậy không phải mọi giá trị của ẩn x đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

với mọi a; b : 

 \(2\left(a^4+b^4+6a^2b^2\right)-\left(a+b\right)^4\)

\(=2a^4+2b^4+12a^2b^2-a^4-b^4-4a^3b-4ab^4-6a^2b^2\)

\(=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4\)

\(=\left(a-b\right)^4\ge0\)

Vậy ta có điều cần chứng minh.

\(a,x^2+2x+2=\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\)

\(=>bpt:x^2+2x+2\le0\left(vo-li\right)\)

=>bpt vô nghiệm

\(b,4x^2-4x+5=\left(2x-1\right)^2+4\ge4>0\)

\(=>bpt:4x^2-4x+5\le0\left(vo-li\right)\)

=>bpt vô  nghiệm

a, \(< =>x^2+2x+1+1\le0\)

\(< =>\left(x+1\right)^2+1\le0\) vô nghiệm với mọi x thuộc R

b, \(< =>\left(2x-1\right)^2+4\le0\)vô nghiệm với mọi x thuộc R

\(a.\)

\(x^2+2x+2=x^2+2x+1+1\)

\(=\left(x+1\right)^2+1\ge1\)

\(b.\)

\(4x^2-4x+5=4x^2-4x+1+4\)

\(=\left(2x-1\right)^2+4\ge4\)

câu 1 

a) 5x(x-2)=0 =>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

b)(x+5)(2x-7)=0 =>\(\left[{}\begin{matrix}x+5=0\\2x-7=0\end{matrix}\right.\)=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-5\\x=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

2:

a: Sửa đề: \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\)

\(A=\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\dfrac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\)

=>\(A>=2\cdot\sqrt{\sqrt{a^2+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)

A=2 thì a^2+2=1

=>a^2=-1(loại)

=>A>2 với mọi a

b: \(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}< =\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)

=>\(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)

=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>=0\)

=>(căn a+căn b)(a-2*căn ab+b)>=0

=>(căn a+căn b)(căn a-căn b)^2>=0(luôn đúng)

1

ĐK: `x>1`

PT trở thành:

\(\sqrt{\dfrac{2x-3}{x-1}}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-3}{x-1}=2^2=4\\ \Leftrightarrow4x-4-2x+3=0\\ \Leftrightarrow2x-1=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(KTM\right)\)

Vậy PT vô nghiệm.

b

ĐK: \(x\ge2\)

Đặt \(t=\sqrt{x-2}\) (\(t\ge0\))

=> \(x=t^2+2\)

PT trở thành: \(t^2+2-5t+2=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-5t+4=0\)

nhẩm nghiệm: `a+b+c=0` (`1+(-5)+4=0`)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=1\left(nhận\right)\\t=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{x-2}=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\left(TM\right)\\x=18\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)