Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. C/m: \(\dfrac{ab}{a+b-c}+\dfrac{bc}{b+c-a}+\dfrac{ac}{a+c-b}\ge a+b+c\) .
Mình đang cần gấp, mong các bạn giải xong sớm.
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ac}{a+b}=\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{bc}{a+b}\). Chứng minh: Tam giác ABC cân
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ac}{a+b}=\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{bc}{a+b}\). Chứng minh tam giác ABC cân
\(\Leftrightarrow ab\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+bc\left(\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}\right)+ca\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) hay tam giác cân
tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn
\(\sqrt{\dfrac{19}{a=b-c}}+\sqrt{\dfrac{5}{b+c-a}}+\sqrt{\dfrac{79}{a+c-b}}\in N\ne1\)
CÁC BẠN GIÚP MÌNH NHÉ MÌNH CẦN GẤP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: \(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(A=\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}\ge\dfrac{4}{2b}\ge\dfrac{2}{b}\\\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{b+c-a+c+a-b}\ge\dfrac{4}{2c}\ge\dfrac{2}{c}\\\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{a+b-c+c+a-b}\ge\dfrac{4}{2a}\ge\dfrac{2}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\right)\ge\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) \(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow a=b=c\)
a ) Cho a,b,c >0 C/m:
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
b ) Cho a,b,c > 0 . C/m :
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}.\)
c ) Cho a,b,c > 0 . C/m :
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a+b+c.\)
giúp nha mn
a/ \(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
b/ \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}=\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\)
b)
Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{9}}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a+b+c\right)}{3}\times\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Cho tam giác ABC có BC =a,AC=b,AB=c là độ dài 3 cạnh của tam giac thỏa mãn hệ thức :\(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{b+a}=\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{bc}{b+a}\) .Chứng minh rằng tam giac ABC là tam giác cân
Cho a,b,c Là 3 cạnh tam giác . Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc+ca}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca+ab}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+ab}}\)
giúp mình càng sớm càng tốt nhe các bạn
cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, cmr:
\(\dfrac{3a+b}{2a+c}+\dfrac{3b+c}{2b+a}+\dfrac{3c+a}{2c+b}\ge4\)