Trong không gian Oxyz
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \(\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Oxz\right)\) ?
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M\left(2;6;-3\right)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ ?
Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ \(\left(x_0;y_0;z_0\right)\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ \(\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Ozx\right)\) ?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;0;1) và B(-1;-3) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+2y+3z+3=0\), lập phương trình đường thẳng\(\left(\beta\right)\) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)
\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(1;-2;1\right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left(\beta\right)\)
Mặt phẳng \(\beta\) đi qua A có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2;1\right)\) có phương trình \(x-2y+z-2=0\)
Cho x, y là các số thỏa mãn \(x^2+y^2+xy=3\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3=xy\)
Vì \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\le4\)
Trong không gian Oxyz, cho \(S\left(0;0;2\right),A\left(0;0;0\right),B\left(1;2;0\right),C\left(0;2;0\right)\)
a) Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB
b) Tìm tọa độ của các điểm B' là giao của (P) với đường thẳng SB, C' là giao của (P) với đường thẳng SC
c) Tính thể tích tứ diện SAB'C
d) Tìm điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (P)
e) Chứng minh các điểm A, B, C, B', C' cùng thuộc một mặt cầu. Viết phương trình của các mặt cầu đó và phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu đó tại C'
Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua hai điểm \(A\left(1;0;1\right);B\left(5;2;3\right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\beta\right):2x-y+z-7=0\) ?
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh là \(A\left(5;1;3\right);B\left(1;6;2\right);C\left(5;0;4\right);D\left(4;0;6\right)\) :
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD) ?
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD ?
Giải:
a) Mặt phẳng (ACD) đi qua A(5 ; 1 ; 3) và chứa giá của các vectơ (0 ; -1 ; 1)
và (-1 ; -1 ; 3).
Vectơ = (-2 ; -1 ; -1) vuông góc với mặt phẳng (ACD).
Phương trình (ACD) có dạng:
2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0.
hay 2x + y + z - 14 = 0.
Tương tự: Mặt phẳng (BCD) qua điểm B(1 ; 6 ; 2) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Ta có :(4 ; -6 ; 2), (3 ; -6 ; 4) và
= (-12 ; -10 ; -6)
Xét (6 ; 5 ; 3) thì nên cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD). Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng:
6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0
hay 6x + 5y + 3z - 42 = 0.
b) Mặt phẳng ( α ) qua cạnh AB và song song với CD thì ( α ) qua A và nhận
(-4 ; 5 ; 1) , (-1 ; 0 ; 2) làm vectơ chỉ phương.
Vectơ = (10 ; 9 ; 5) là vectơ pháp tuyến của ( α ).
Phương trình mặt phẳng ( α ) có dạng : 10x + 9y + 5z - 74 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(A\left(0;2\right);B\left(-2;2\right);C\left(4;-2\right)\). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng \(A\left(6;2;-5\right);B\left(-4;0;7\right)\) :
a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S)
b) Lập phương trình của mặt cầu (S)
c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left(1;0;0\right),B\left(0;1;0\right),C\left(0;0;1\right),D\left(1;1;0\right)\)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Xác định tọa đọ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm \(A\left(3;3;2\right);B\left(4;-3-3\right);C\left(2;1;1\right);D\left(1;2;1\right)\).
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C
b. Tìm trên mặt phẳng (P) tất cả những điểm E sao cho \(S_{\Delta ODE}\) nhỏ nhất.
a. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-6;-5\right)\) và \(\overrightarrow{CA}=\left(1;2;1\right)\)
Suy ra :
\(\left|\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right|=\left(\left|\begin{matrix}-6&-5\\2&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-5&1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-6\\1&2\end{matrix}\right|\right)\)
Từ đó do \(\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]\ne\overrightarrow{0}\) nên A, B, C không thẳng hàng và mặt phẳng (P) đi qua A,B,C có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]=\left(2;-3;4\right)\)
Suy ra (P) có phương trình:
\(2\left(x-3\right)-3\left(y-3\right)+4\left(z-2\right)=0\)
hay :
\(2x-3y+4z-5=0\)
b. Do \(OD=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}\) nên \(S_{\Delta ODE}\) bé nhất khi và chỉ khi \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất.
\(\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{n}=1.2.\left(-3\right)+1.4\) và\(1.2+2\left(-3+1.4-5\ne0\right)\) nên \(OD\backslash\backslash\left(P\right)\). Bởi vậy tập hợp tất cả những điểm \(E\in\left(P\right)\) sao cho \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất là OD trên mặt phẳng (P)
Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P). Khi đó d có phương trình :
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\)
Gọi M là hình chiếu của O(0;0;0) trên (P). Khi đó tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình :
\(\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\\2x-3y+4z-5=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được : \(M\left(\frac{10}{29};\frac{-15}{29};\frac{20}{29}\right)\)
Vậy tập hợp tất cả các điểm E cần tìm là đường thẳng đi qua M, song song với OD, do đó có phương trình dạng tham số :
\(\begin{cases}x=\frac{10}{29}+t\\y=-\frac{15}{29}+2t\\z=\frac{20}{29}+t\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\)