Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa BC và CM với M là trung điểm DD'
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60 độ. Gọi M,N là trung điểm các cạnh AB và SD. Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách giữa MN,CD.
1. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 60°. Gọi E là trung điểm SC, F là điểm đối xứng với A qua C. Tính khoảng cách từ F đến (AEB)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB,CD. Biết SI vuông (ABCD), SI=a.căn3, AB=2a và BC=a. Tính khoảng cách giữa IC và SD
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM bằng a 3 4 . Tính thể tích của khối chóp đã cho theo a.
A. a 3 3 4
B. a 3 3 2
C. a 3 3 6
D. a 3 3 12
Chọn C
Gọi N là trung điểm của AB => BC // (SMN)
Suy ra d (BC, SM)=d (BC, (SMN))=d (B, (SMN))=d (A, (SMN)).
Dựng AH vuông góc với SN tại H
Lại có, trong tam giác vuông SAN:
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bằng bên bằng nhau và bằng 2a, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, AD = a. Gọi K là điểm thuộc BC sao cho 3 B K → + 2 C K → = 0 → Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK.
A . x = 2 165 a 15
B . x = 165 a 15
C . x = 2 135 a 15
D . x = 135 a 15
Chọn A
Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của CD.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ,AB =BC=2a,cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC) .Gọi M là trung điểm của cạnh AB
a) chứng minh BC vuông góc (SAB)
b) tính khoảng cách giữa đường thẳng hai đường thẳng SB và CM
\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\)
Mà \(BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
b/ Gọi N là trung điểm SA \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SAB
\(\Rightarrow MN//SB\Rightarrow SB//\left(CMN\right)\)
\(\Rightarrow d\left(SB;CM\right)=d\left(SB;\left(CMN\right)\right)=d\left(S;\left(CMN\right)\right)\)
Mặt khác SA cắt \(\left(CMN\right)\) tại N
\(NS=NA=\frac{1}{2}SA=a\Rightarrow d\left(S;\left(CMN\right)\right)=d\left(A;\left(CMN\right)\right)\)
\(CM=\sqrt{BC^2+BM^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Kẻ \(AH\perp CM\Rightarrow\Delta MHA\sim\Delta MBC\) (tam giác vuông có 1 góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}=\frac{AM}{CM}\Rightarrow AH=\frac{BC.AM}{CM}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)
Từ A kẻ \(AK\perp NH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(CMN\right)\right)\)
\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\frac{AN.AH}{\sqrt{AN^2+AH^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)
cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh AB=a AD=2a. gọi o là giao điểm của đường thẳng AC và BD.G là trọng tâm tam giác SAD biết SO vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD =60 độ. tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SCD.
cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh AB=a AD=2a. gọi o là giao điểm của đường thẳng AC và BD.G là trọng tâm tam giác SAD biết SO vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD =60 độ. tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SCD.
C1/Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có đáy lớn AD = 2a,AB = BC = a,I là trung điểm AD,O là trung điểm BI.Trên đường thẳng vuông góc với mp ABCD tại O lấy điểm S sao cho SO = \(\frac{a\sqrt{6}}{2}\).Xác định và tính đoạn vuông góc chung của BI và SD.
C2/Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a,SA vuông góc với mp đáy và SA= 3a.Gọi M là trung điểm của AB,G là trọng tâm của tam giác SAC.
a/ tính góc giữa SM và mp SAC
b/tính góc giữa mp SMC và ABC
c/tính khoảng cách từ G đến mp SAB
d/tính khoảng cáh từ B đến mp SMC
e/tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC
Câu 1:
\(ABCI\) là hình vuông \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD=\sqrt{IC^2+ID^2}=a\sqrt{2}\\AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AC^2+CD^2=AD^2\Rightarrow\Delta ACD\) vuông cân tạiC
\(\Rightarrow OC\perp CD\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SOC\right)\)
Từ O kẻ \(OH\perp SC\Rightarrow OH\perp\left(SCD\right)\) \(\Rightarrow OH\perp SD\)
\(\left\{{}\begin{matrix}BI\perp SO\\BI\perp OC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BI\perp\left(SOC\right)\Rightarrow BI\perp OH\)
\(SC=\sqrt{SO^2+OC^2}=a\sqrt{2}\) \(\Rightarrow SH=\frac{SO^2}{SC}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
Qua H kẻ đường thẳng song song CD cắt SD tại K
\(\frac{SH}{SC}=\frac{HK}{CD}\Rightarrow HK=\frac{SH.CD}{SC}=\frac{3a}{4}\)
Trên toa OI lấy điểm P sao cho \(OP=\frac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow OHKP\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow OH//KP\Rightarrow KP\) là đoạn vuông góc chung của \(BI\) và SD
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OC^2}\Rightarrow KP=OH=\frac{SO.OC}{\sqrt{SO^2+OC^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\)
Câu 2:
a/ Kẻ \(MH\perp AC\Rightarrow MH\perp\left(SAC\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MSH}\) là góc giữa SM và (SAC)
\(SM=\sqrt{SA^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=a\sqrt{10}\) ; \(MH=\frac{1}{2}\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(sin\widehat{MSH}=\frac{MH}{SM}=\frac{\sqrt{30}}{20}\Rightarrow\widehat{MSH}\approx15^053'\)
b/ \(\left\{{}\begin{matrix}MC\perp AB\\MC\perp SA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MC\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa \(\left(SMC\right)\) và \(\left(ABC\right)\)
\(tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=3\Rightarrow\widehat{SMA}\approx71^033'\)
c/ Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow NG=\frac{1}{3}NS\) (t/c trọng tâm)
\(\Rightarrow d\left(G;\left(SAB\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(N;\left(SAB\right)\right)\)
Từ N kẻ \(NK\perp AB\Rightarrow NK\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow NK=d\left(N;\left(SAB\right)\right)\)
\(NK=\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left(G;\left(SAB\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Bài 2:
d/ Do \(AM=BM\Rightarrow d\left(B;\left(SMC\right)\right)=d\left(A;SMC\right)\)
Theo cmt ta có \(CM\perp\left(SAB\right)\)
Từ A kẻ \(AP\perp SM\Rightarrow AP\perp\left(SMC\right)\)
\(\Rightarrow AP=d\left(A;\left(SMC\right)\right)=d\left(B;\left(SMC\right)\right)\)
\(\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AM^2}\Rightarrow AP=\frac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}=\frac{3a\sqrt{10}}{10}\)
e/
Do \(MN//BC\) (t/c đường trung bình) \(\Rightarrow BC//\left(SMN\right)\)
\(\Rightarrow d\left(BC;SM\right)=d\left(BC;\left(SMN\right)\right)=d\left(B;\left(SMN\right)\right)\)
Mà \(AM=BM\Rightarrow d\left(B;\left(SMN\right)\right)=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)
Từ A kẻ \(AQ\perp MN\Rightarrow MN\perp\left(SAQ\right)\)
Từ A kẻ \(AT\perp SQ\Rightarrow AT\perp\left(SMN\right)\)
\(\Rightarrow AT=d\left(A;\left(SMN\right)\right)=d\left(BC;SM\right)\)
\(AQ=\frac{1}{2}\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{AT^2}=\frac{1}{AQ^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AT=\frac{SA.AQ}{\sqrt{SA^2+AQ^2}}=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và AC = a. SO vuông góc với đáy và SO = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) .
a. Chứng minh (SAC) vuông góc với (SBD)
b. Tính góc giữa SB và (SCD)
c. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa SM và CD