\(A=\dfrac{a}{a+b+c-c}+\dfrac{b}{a+b+c-a}+\dfrac{c}{a+b+c-b}\\ A=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\\ \Rightarrow A>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=1\left(1\right)\\ A< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow1< A< B\\ \Rightarrow A\notin Z\)

Với a,b,c dương, ta có:

a/a+b > a/a+b+c

b/b+c > b/a+b+c

c/c+a > c/a+b+c

=> A > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c => A>1.               (1)

Ta lại có

A = a/a+b + b/b+c + c/c+a

   = a+b-b/a+b + b+c-c/b+c + c+a-a/c+a

   = 1-b/a+b + 1-c/b+c + 1-a/c+a

   = 3-(b/a+b + c/b+c + a/c+a) = 3-B

Tương tự phần chứng minh trên, ta có

b/a+b > b/a+b+c

c/b+c > c/a+b+c

a/a+c > a/a+b+c

=> B > b/a+b+c + c/a+b+c + a/a+b+c => B>1

mà A = 3-B

=> A < 2                                                           (2)

Từ (1) và (2) => 1<A<2

Mà không có số tự nhiên nào ở giữa 1 và 2 => A không là số tự nhiên

pip install pygame

Ta có:\(\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)

Suy ra \(\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c};\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)

Lại có: \(\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+b}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)

Suy ra \(\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{b+c}{a+b+c};\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{c+a}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}\)

\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\). Từ \((1)\) và \((2)\) ta có:

\(1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\) (Không là số nguyên)

Ta có :\(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\)

\(\dfrac{b}{a+b+c}< \dfrac{b}{c+b}< \dfrac{b+a}{a+b+c}\)

\(\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{c}{a+c}< \dfrac{b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}\)\(\Rightarrow1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\)

\(\Rightarrow\)ĐPCM

Lời giải:

Với $a,b,c>0$ ta có:

$M> \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}{a+b+c}=1(*)$

Mặt khác:
Xét hiệu: $\frac{a}{a+b}-\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{-bc}{(a+b)(a+b+c)}<0$ với mọi $a,b,c>0$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}; \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}$

Cộng lại ta được: $M< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< M< 2$ nên $M$ không là số nguyên.

\(\dfrac{a}{2021-c}+\dfrac{b}{2021-a}+\dfrac{c}{2021-b}\\ =\dfrac{a}{a+b+c-c}+\dfrac{b}{a+b+c-a}+\dfrac{c}{a+b+c-b}\\ =\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)

\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}+\dfrac{c+a}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Vì \(1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\Rightarrow A.ko.phải.số.nguyên\)

Bài này mình làm một lần ở trường rồi nhưng không có điện thoại chụp được:((

Ta có: \(\dfrac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3\left(a-c\right)-c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3a-b^3c-c^3a+c^3b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c^3-b^3\right)+bc\left(c^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)\left(a^2+bc+b^2\right)+bc\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a^3-ac^2-abc-ab^2+bc^2+b^2c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a^2-b^2\right)-c^2\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab-c-bc\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)

\(\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[a^2-c^2+ab-bc\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}\)\(=a+b+c\)

Vì a, b, c là các số nguyên

=> a+b+c là các số nguyên

=> Đpcm.

Đấy mình làm chi tiết tiền tiệt lắm luôn, không hiểu thì mình chịu rồi, trời lạnh mà đánh máy nhiều thế này buốt tay lắm luôn:vv