\(\Rightarrow M=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(x-1\right)\cdot1}}{x}+\dfrac{4\sqrt{y-4}}{4y}\le\dfrac{x-1+1}{2x}+\dfrac{y-4+4}{4y}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=2;y=8\)

Lời giải:

a. Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^4+9\geq 6x^2$

$y^4+9\geq 6y^2$

$\Rightarrow x^4+y^4+18\geq 6(x^2+y^2)$

$A+18\geq 36$

$A\geq 18$

Vậy GTNN của $A$ là $18$ khi $x^2=y^2=3$

b.

$(x-y)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$

$\Leftrightarrow 12\geq (x+y)^2$

$\Rightarrow B=x+y\leq \sqrt{12}$. Vậy $B$ max bằng $\sqrt{12}$ khi $x=y=\sqrt{3}$

$(x-y)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$

$\Leftrightarrow 6\geq 2C$

$\Leftrightarrow C\leq 3$. Vậy $C_{\max}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=-\sqrt{3}$

Từ gt ta có x^2+y^^2=xy+1

=>P=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2-x^2y^2

=(xy+1)²-2x²y²-x²y²

=x²y²+xy+1-3x²y²=-2x²y²+xy+1

=......

\(1=x^2+y^2-xy\ge2xy-xy=xy\Rightarrow xy\le1\)

\(1=x^2+y^2-xy\ge-2xy-xy=-3xy\Rightarrow xy\ge-\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{3}\le xy\le1\)

\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2-\left(xy\right)^2=\left(xy+1\right)^2-3\left(xy\right)^2=-2\left(xy\right)^2+2xy+1\)

Đặt \(xy=t\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)

\(P=f\left(t\right)=-2t^2+2t+1\)

\(f'\left(t\right)=-4t+2=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{9}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{3}{2}\) ; \(P_{min}=\dfrac{1}{9}\)

Sử dụng Bdt thức   \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)  với  \(a,b>0\).

Tự chứng minh

\(------------------\)

Áp dụng bđt trên, ta có:

\(A=x^2y=\frac{1}{2}.2x.xy\le\frac{1}{2}\left(\frac{2x+xy}{2}\right)^2=\frac{1}{8}\left(2x+xy\right)^2=\frac{1}{8}.4^2=2\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(\hept{\begin{cases}2x=xy\\2x+xy=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}}\)  

Kết luận: .....

\(M=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\)

ta co \(1.\sqrt{x-1}\le\frac{x+1-1}{2}=\frac{x}{2}\)

\(2.\sqrt{y-4}=\sqrt{4}\sqrt{y-4}\le\frac{y-4+4}{2}=\frac{y}{2}\)

\(M=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{4}\sqrt{y-4}}{2y}\le\frac{\frac{x}{2}}{x}+\frac{\frac{y}{2}}{2y}=\frac{x}{2x}+\frac{y}{4y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

vay max \(M=\frac{3}{4}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)

x=2 y=8

Có : (x-y)^2 >= 0 

<=> x^2+y^2-2xy >= 0 

<=> x^2+y^2 >= 2xy

<=> x^2+y^2+2xy >= 4xy

<=> (x+y)^2 >= 4xy

<=> xy <= (x+y)^2 /4

<=> P <= 10^2 / 4 = 25

Dấu "=" xảy ra <=> x=y và x+y=10 <=> x=y=5

Vậy Max P = 25 <=> x=y=5

k mk nha bạn

P=25

5.5=25

5+5=10

x=5;y=5 . Nhu vay ga tri cuaP lon nhat co the

x=5,y=5,như vậy giá trị của p sẽ lớn nhất có thể

x + y = 10. Tìm giá trị lớn nhất của  P = xy.

HD: x + y = 10  y = 10 – x. Thay vào P ta có:

P = x(10 – x) = -x² + 10x = -(x² – 10x + 25 – 25) = -(x – 5)² + 25 >= 25.

Vậy GTLN của P = 25 khi x = y = 5

sẽ gầy