Xét ΔCBE và ΔCFE có 

CB=CF

\(\widehat{BCE}=\widehat{FCE}\)

CE chung

DO đó; ΔCBE=ΔCFE
Suy ra: EB=EF và \(\widehat{CBE}=\widehat{CFE}=90^0\)

hay EF\(\perp\)AC

-Câu 1,2 của bài này na ná với nhau á, bạn tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-can-tai-a-tren-canh-bc-lay-d-d-khong-trung-b-va-bdbc2-tren-tia-doi-cua-tia-cb-lay-e-sao-cho-bdce-cac-duong-vuong-goc-voi-bc-ke-tu-d-va-e-cat-duong-thang-ab-va-ac-lan-luot-tai.4784314158042

c. -Kẻ tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt đường vuông góc với MN (tại I) tại F.

-Xét △ABF và △ACF:

\(AB=AC\) (△ABC cân tại A).

\(\widehat{BAF}=\widehat{CAF}\) (AF là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))

AF là cạnh chung.

\(\Rightarrow\)△ABF=△ACF (c-g-c).

\(\Rightarrow BF=CF\) (2 cạnh tương ứng).

\(\widehat{ABF}=\widehat{ACF}\) (2 góc tương ứng).

-Xét △MIF và △NIF:

\(MI=IN\left(cmt\right)\)

\(\widehat{MIF}=\widehat{NIF}=90^0\)

IF là cạnh chung.

\(\Rightarrow\)△MIF=△NIF (c-g-c).

\(\Rightarrow MF=NF\) (2 cạnh tương ứng).

-Xét △BMF và △CNF:

\(BM=NC\)(△MBD=△NCE)

\(MF=NF\left(cmt\right)\)

\(BF=CF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\)△BMF=△CNF (c-c-c).

\(\Rightarrow\widehat{MBF}=\widehat{NCF}\) (2 cạnh tương ứng).

Mà \(\widehat{MBF}=\widehat{MCF}\)(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{NCF}=\widehat{MCF}\)

Mà \(\widehat{NCF}+\widehat{MCF}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{NCF}=\widehat{MCF}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow\)AB⊥BF tại B.

\(\Rightarrow\) F là giao của đường vuông góc với AB tại B và tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\).

\(\Rightarrow\)F cố định.

-Vậy đường thẳng vuông góc với MN luôn đi qua điểm cố định khi D thay đổi trên đoạn BC.

a) Ta có \(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}=\widehat{\dfrac{CAB}{2}}\)

hay \(\widehat{BAE}=\widehat{FAE}\)

Xét \(\Delta ABEvà\Delta AFEcó\)

\(AB=AF\) (giả thiết )

 \(\widehat{BAE}=\widehat{FAE}\) (chứng minh trên)

\(AE\)  cạnh chung 

 \(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta AFE\left(c-g-c\right)\)

vậy \(\Delta ABE=\Delta AFE\)

b) ta có  \(\Delta ABE=\Delta AFE\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{EFA}\) (2 góc tương ứng)

mà\(\widehat{EAB}=90độ\) \(\Rightarrow\widehat{EFA}=90độ\)

\(\Rightarrow EF\perp AC\)

vậy \(EF\perp AC\)

c)ta có  \(\Delta EAB=\Delta EFA\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow EB=EF\)

Xét \(\Delta CEFvà\Delta MEBcó\)

\(EF=EB\) (chứng minh trên)

\(\widehat{CEF}=\widehat{MEB}\) (2 góc đối đỉnh )

\(CE=ME\) (giả thiết )

\(\Rightarrow\Delta CEF=\Delta MEB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EBM}=\widehat{EMC}\) mà \(\widehat{EMC}=90độ\) (vì\(EF\perp AC\))

\(\Rightarrow\widehat{EBM}=90độ\) mà \(\widehat{EBA}=90độ\)

\(\Rightarrow\widehat{EBM}+\widehat{EBA}=180độ\)

\(\Rightarrow\text{B,A,M thẳng hàng}\)

vậy\(\text{B,A,M thẳng hàng}\)

\(\Delta ABEvà\Delta AFEcó\)\(\Rightarrow EF\perp AC\)\(\Rightarrow EF\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{EFA}\) 

a) Ta có \(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}=\widehat{\dfrac{CAB}{2}}\)

hay \(\widehat{BAE}=\widehat{FAE}\)

Xét \(\Delta ABEvà\Delta AFEcó\)

\(AB=AF\) (giả thiết )

 \(\widehat{BAE}=\widehat{FAE}\) (chứng minh trên)

\(AE\)  cạnh chung 

 \(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta AFE\left(c-g-c\right)\)

vậy \(\Delta ABE=\Delta AFE\)

b) ta có  \(\Delta ABE=\Delta AFE\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{EFA}\) (2 góc tương ứng)

mà\(\widehat{EAB}=90độ\) \(\Rightarrow\widehat{EFA}=90độ\)

\(\Rightarrow EF\perp AC\)

vậy \(EF\perp AC\)

c)ta có  \(\Delta EAB=\Delta EFA\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow EB=EF\)

Xét \(\Delta CEFvà\Delta MEBcó\)

\(EF=EB\) (chứng minh trên)

\(\widehat{CEF}=\widehat{MEB}\) (2 góc đối đỉnh )

\(CE=ME\) (giả thiết )

\(\Rightarrow\Delta CEF=\Delta MEB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EBM}=\widehat{EMC}\) mà \(\widehat{EMC}=90độ\) (vì\(EF\perp AC\))

\(\Rightarrow\widehat{EBM}=90độ\) mà \(\widehat{EBA}=90độ\)

\(\Rightarrow\widehat{EBM}+\widehat{EBA}=180độ\)

\(\Rightarrow\text{B,A,M thẳng hàng}\)

vậy\(\text{B,A,M thẳng hàng}\)

\(\Delta ABEvà\Delta AFEcó\)\(\Rightarrow EF\perp AC\)\(\Rightarrow EF\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{EFA}\) 

các thiên tài  ra giúp  hộ e