Gọi O là tâm hình vuông \(\Rightarrow OA=OB=OC=OD\)

\(\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2=3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow OA^2+OB^2+OC^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=3OD^2+6\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OD}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-3\overrightarrow{OD}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OD}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}=0\)

Quỹ tích M là đường thẳng AC

Đường thẳng qua H song song với AB cắt AC,BC tại K,L. Đường thẳng qua H song song với BC cắt AB,AC tại K,Q.

Áp dụng ĐL Melelaus ta có: \(\frac{MK}{MA}.\frac{HQ}{HK}.\frac{CA}{CQ}=\frac{NL}{NC}.\frac{HP}{HL}.\frac{AC}{AP}\left(=1\right)\)(*)

Áp dụng ĐL Thales ta có tỉ số \(\frac{HQ}{HK}=\frac{PQ}{PA};\frac{HP}{HL}=\frac{QP}{QC}\)

Thay 2 tỉ số trên vào (*) ta được \(\frac{MK}{MA}=\frac{NL}{NC}\)

Gọi đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt DH tại I'. HM,HN cắt DA,DC thứ tự tại E,F.

Dễ có \(\frac{MK}{MA}=\frac{MH}{ME}=\frac{I'H}{I'D};\frac{NL}{NC}=\frac{NH}{NF}\). Từ đây \(\frac{I'H}{I'D}=\frac{NH}{NF}\)

Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)HFD thì I'N // DF. Suy ra I'N vuông góc BC

Khi đó tứ giác BMI'N là hình chữ nhật. Mà BMIN cũng là hình chữ nhật nên I' trùng I

Vì I' nằm trên HD nên I,H,D thẳng hàng. Hay HI đi qua D cố định (đpcm).

Sửa đoạn đầu: Đường thẳng qua H song song với AB cắt AC,BC tại P,L...