Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Edogawa Conan
Xem chi tiết
Nguyễn Hưng Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thùy Dương
31 tháng 8 2016 lúc 18:15

\(a^2\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c}\right)+b^2\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\right)+c^2\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)\ge0.\)

\(a^2\left(\frac{a-}{b+c}\frac{b}{a+c}\right)+b^2\left(\frac{b}{a+c}\frac{-c}{a+b}\right)+c^2\left(\frac{c-}{a+b}\frac{a}{b+c}\right)\ge0.\)

\(a^2\left(a^2-b^2\right)+b^2\left(b^2-c^2\right)+c^2\left(c^2-a^2\right)\ge0.\)

\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2.\) cái này dễ rồi .

Tiến Nguyễn Minh
Xem chi tiết
Vũ Tiến Manh
21 tháng 10 2019 lúc 22:19

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2\(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

Khách vãng lai đã xóa
HD Film
21 tháng 10 2019 lúc 22:26

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa
HD Film
21 tháng 10 2019 lúc 22:35

4c, 

\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}=a+b+c-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}+3--\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}\)\(\ge6-2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=3\)

Khách vãng lai đã xóa
Phan Quang Thái
Xem chi tiết
chu van anh
15 tháng 12 2016 lúc 17:57

mình nghĩ đề bài sai một chỗ :\(\frac{a^2}{b^2}\)chứ ko phải là \(\frac{a}{b^2}\)

doan huong tra
10 tháng 5 2017 lúc 13:36

khó quá chưa học

ngodanghoang
10 tháng 5 2017 lúc 13:52

mình chịu thôi bạn ơi mình mới học lớp 5 ak

Phạm Nguyễn Hùng Nguyên
Xem chi tiết
Phạm Nguyễn Hùng Nguyên
Xem chi tiết
chu van anh
15 tháng 12 2016 lúc 18:26

áp dụng dbt cosi cho 2 số:\(\frac{a^3}{b^2}\)va b ta duoc :

\(\frac{a^3}{b^2}\)+a\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^3}{b^2}.a}\)=2\(\frac{a^2}{b}\)

CMTT:\(\frac{b^3}{c^2}\)+b\(\ge\)2\(\frac{b^2}{c}\)

\(\frac{c^3}{a^2}\)+c\(\ge\)2\(\frac{c^2}{a}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)+(a+b+c)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\))

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)) - (a+b+c)           (1)

Ap dụng bdt cosi cho các số dương , ta được:

\(\frac{a^2}{b}\)+\(b\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}\)=2a

CMTT: \(\frac{b^2}{c}\)+c\(\ge\)2b

\(\frac{c^2}{a}\)+a\(\ge\)2c

\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)+(a+b+c) \(\ge\)2(a+b+c)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)\(\ge\)a+b+c 

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) _ (a + b + c )  \(\ge\)0

Do Đó:TỪ (1) ta co : \(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)\(\ge\)(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) )

tth_new
29 tháng 5 2019 lúc 8:31

Xét hiệu hai vế:

BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left(a+b+c-b-c-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}\left(b-c\right)-\left(b-c\right)\right)+\left(\frac{c^2}{a^2}\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{b^2}+\frac{\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2}{c^2}+\frac{\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2}{a^2}\ge0\)

BĐT này đúng với mọi a,b,c > 0 nên ta có Q.E.D

Dấu "=" xảy ra khi a =b =c

P/s: Toán 7 gì mà khó thế nhỉ??Mình cũng không chắc đâu nha!

trả lời 

=>  bé hơn hoặc bằng 0 

chúc bn

thành công trong 

học tập

Nguyễn Thái Sơn
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
3 tháng 3 2020 lúc 20:45

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}=2\left|\frac{a}{c}\right|\ge\frac{2a}{c}\)

Tương tự: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Khách vãng lai đã xóa
NGUYỄN THỊ HẰNG NGA
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Kuro Kazuya
30 tháng 1 2017 lúc 20:16

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{a+c}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{a+b+c}{2}+a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+b\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+c\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(\frac{a+b+c}{b+c}\right)+b\left(\frac{a+b+c}{c+a}\right)+c\left(\frac{a+b+c}{a+b}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\frac{a}{b+c}+\left(a+b+c\right)\frac{b}{c+a}+\left(a+b+c\right)\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge\frac{3}{2}+3\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+2c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

Áp dụng BĐT Cô - si

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}b+c+c+a+a+b\ge3\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\\\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}\end{matrix}\right.\)

Nhân từng vế :

\(\Rightarrow\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right).\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}\)

\(\Rightarrow\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\left(đpcm\right)\)

Vậy với a ,b ,c > 0 thì \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Bùi Nhất Duy
30 tháng 1 2017 lúc 20:57

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho các số thực không âm ta có:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}\times\frac{b+c}{4}}=a\) (1)

\(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{b^2}{a+c}\times\frac{a+c}{4}}=b\) (2)

\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a+b}\times\frac{a+b}{4}}=c\) (3)

Cộng (1),(2) và (3),vế theo vế ta được:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi :a=b=c

Vậy \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\) với a,b,c >0

Lightning Farron
30 tháng 1 2017 lúc 21:41

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

quá nhanh quá an toàn, ngộ nhỡ đề ko cho số dương còn lo dc, đỡ xoắn như các chế

Nghiêm Thị Nhân Đức
Xem chi tiết
Copxki Minh
2 tháng 12 2020 lúc 22:25

Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)

\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)

\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Khách vãng lai đã xóa