Trong mặt phẳng cho góc xOy và một điểm A cố định. Một đường tròn \(\omega\) đi qua O và A cắt tại các tia Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng khi \(\omega\) thay đổi, trung điểm MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Cho hai đường thẳng cắt nhau Ox, Oy và 2 điểm A, B không nằm trong mặt phẳng (Ox, Oy). Biết rằng đường thẳng AB và mặt phẳng (Ox, Oy) có điểm chung I. Một mặt phẳng α thay đổi luôn chứa AB và cắt Ox tại M, cắt Oy tại N. Ta chứng minh được rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi α thay đổi. Điểm đó là
A. O
B. A
C. B
D. I
Đáp án D
AB và mặt phẳng (Ox, Oy) luôn có điểm chung I
α chứa AB
⇒ I luôn nằm trên giao tuyến của α và (Ox, Oy) (1)
Ta lại có: α thay đổi cắt Ox tại M, Oy tại N
Xét α và (Ox, Oy) có M và N là điểm chung
⇒ MN là giao tuyến của 2 mặt phẳng (2)
(1);(2): M, N, I thẳng hàng
⇒ MN luôn đi qua I cố định
Cho góc vuông xOy. Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Đường tròn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M), đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N)
a, Chứng minh (I) và (K) luôn cắt nhau
b, Tiếp tuyến tại M của (I), tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C. Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông
c, Gọi A, B là các giao điểm của (I) và (K) trong đó B ở miền trong góc xOy. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
d, Giả sử I và K thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a không đổi. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
a, Chỉ ra |OI – OK| < IK < OI + OK => (1) và (k) luôn cắt nhau
b, Do OI=NK, OK=IM => OM=ON
Mặt khác OMCN là hình chữ nhật => OMCN là hình vuông
c, Gọi{L} = KB ∩ MC, {P} = IBNC => OKBI là Hình chữ nhật và BNMI là hình vuông
=> ∆BLC = ∆KOI
=> L B C ^ = O K I ^ = B I K ^
mà B I K ^ + I B A ^ = 90 0
L B C ^ + L B I ^ + I B A ^ = 180 0
d, Có OMCN là hình vuông cạnh a cố định
=> C cố định và AB luôn đi qua điểm C
Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng và theo thứ tự đó. Đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B và C. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Đường thẳng MN cắt AO tại H, gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OHE nằm trên một đường tròn cố định
Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng và theo thứ tự đó. Đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B và C. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Đường thẳng MN cắt AO tại H, gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OHE nằm trên một đường tròn cố định
Gọi I là giao điểm của MN và AC.
Ta có: \(\widehat{IHO}=\widehat{OEI}=90°\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác EIHO nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\)Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.(*)
Ta có ∆AIH \(\approx\)∆AOE
\(\Rightarrow\)AH.AO = AE.AI (1)
Ta có: ∆AMB \(\approx\)AOM
\(\Rightarrow\)AM2 = AH.AO (2)
Ta lại có: ∆ABM \(\approx\)∆AMC
\(\Rightarrow\)AM2 = AB.AC (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AI = AB.AC
Vì A,B,C,E cố định nên I cố định (**)
Từ (*), (**) suy ta tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.
PS: không chứng minh được nó nằm trên đường tròn nha b. Hình tự vẽ.
bạn cho mình hỏi tại sao tam giác ABM đồng dạng với tam giác AMC vậy?. Mình ko hiểu chỗ đó
Ta có:
\(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\)(là góc chung)
\(\widehat{BMA}=\widehat{ACM}\) (Do AM là tiếp tuyến tại M của (O) và 2 góc đó cùng chắn cung MB)
\(\Rightarrow\Delta ABM\approx\Delta AMC\)
Cho góc vuông $xOy$. Lấy các điểm $I$ và $K$ lần lượt trên tia $Ox$ và tia $Oy$. Vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính $OK$ cắt tia $Ox$ tại $M$ ($I$ nằm giữa $O$ và $M$). Vẽ đường tròn tâm $K$ bán kính $OI$ cắt tia $Oy$ tại $N$ ($K$ nằm giữa $O$ và $N$).
a) Chứng minh hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.
b) Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(I)$ và tiếp tuyến tại $N$ của đường tròn $(K)$ cắt nhau tại $C$. Chứng minh tứ giác $OMCN$ là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của hai đường tròn $(I)$, $(K)$ là $A$ và $B$. Chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
d) Giả sử $I$ và $K$ theo thứ tự di động trên các tia $Ox$ và $Oy$ sao cho $OI + OK = a$ (không đổi). Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.
a) Trong tam giác OIK có:
|OK OI| < IK < |OK + OI| hay .
Vậy hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
b) Dễ thấy tứ giác OMCN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
Mà OM = OI + IM = OI + OK;
ON = OK + KN = OK + OI.
Vậy OM = ON hay hình chữ nhật OMCN là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của BK và MC là L và giao điểm của AB với MC là P.
Tứ giác IBKO là hình chữ nhật. Suy ra IB = OK.
Tứ giác MLBI là hình vuông nên ML = BI, BL = OK.
Từ đó suy ra . Vì vậy LP = OI.
Suy ra MP = ON = MC. Hay điểm C trùng với P.
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d) Nếu OI + OK = a (không đổi) thì OM = MC = a không đổi. Suy ra điểm C cố định.
Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm C cố định.
Cho góc xOy. Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox, Oy tại M và N. Biết giá trị biểu thức \(\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}\)không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi.
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
Cho 3 điểm ABC theo thứ tự thằng hàng. Một đường tròn O đi qua hai điểm B và C. Từ điểm chính giữa M của cung nỏ BC đường kính MN cắt dây BC tại D. T a n cắt đường tròn tại điểm thứ hai I . Các dây BC,MI cắt nhau tại K
A ) chứng minh rằng khi đường tròn Tâm O thay đổi nhưng vẫn đi qua hai điểm b và c thì đường MI luôn đi qua điểm cố định
B) xác định đường tròn tâm O để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất
Cho góc xOy, tia phân giác Ot. Gọi M là một điểm ở trong góc đó và A,B lần lượt là các điểm đối xứng của M qua Ox,Oy
a)Chứng minh rằng khi M di động ở trong góc xOy thì đường trung trực của AB luôn đi qua một điểm cố định
b)Vẽ MH vuông góc Ot cắt đường trung trực của AB tại N. Chứng minh rằng M và N đối xứng nhau qua Ot
Cho góc xoy; Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox và Oy tại M và N. Biết giá trị của 1/OM + 1/ON là ko đổi khi d thay đổi. Cmr: d luôn đi qua 1 điểm cố định khi nó di chuyển.
M.n chứng minh giùm tui cái. Mai là phải nộp r