Đặt \(u=x,dv=e^{ax}\cos bxdx\)

khi đó \(du=dx,v=\int e^{ax}\cos bxdx\)

Sau hai lần tìm nguyên hàm liên tiếp, ta thu được 

\(v\left(x\right)=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\)

Do đó :

\(I=xe^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}-\frac{1}{a^2+b^2}\int e^{ax}\left(a\cos bx+b\sin bx\right)dx\)

   \(=xe^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}-\frac{a}{a^2+b^2}\int e^{ax}\cos bxdx-\frac{b}{a^2+b^2}\int e^{ax}\sin bxdx\)

Tích phân thứ nhất ở vế phải đã được tính (chính là v(x). Tích phân thứ hai được tính hoàn toàn tương tự

\(\int e^{ax}\sin bxdx=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\)

Từ các tính toán trên suy ra :

\(I=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left[\left(x-\frac{a}{a^2+b^2}\right)\left(a\cos bx+b\sin bx\right)-\frac{b}{a^2+b^2}\left(a\sin bx+b\cos bx\right)\right]+C\)

Biến đổi :

\(4\sin x+3\cos x=A\left(\sin x+2\cos x\right)+B\left(\cos x-2\sin x\right)=\left(A-2B\right)\sin x+\left(2A+B\right)\cos x\)

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có :

\(\begin{cases}A-2B=4\\2A+B=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\end{cases}\)

Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2\left(\left(\sin x+2\cos x\right)\right)-\left(\left(\sin x-2\cos x\right)\right)}{\left(\sin x+2\cos x\right)}=2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\)

Do đó, 

\(F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\right)dx=2\int dx-\int\frac{\left(\cos x-2\sin x\right)dx}{\sin x+2\cos x}=2x-\ln\left|\sin x+2\cos x\right|+C\)

Biến đổi : 

\(\frac{8\cos x}{3\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos x^2}=\frac{8\cos x}{\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)^2}\)

Giả sử :

\(8\cos x=a\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)+b\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)=\left(a\sqrt{3}-b\right)\sin x+\left(a+b\sqrt{3}\right)\cos x\)

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :

\(\begin{cases}a\sqrt{3}-b=0\\a+b\sqrt{3}=8\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=2\\b=2\sqrt{3}\end{cases}\)

Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{3}\sin x-\cos x}-\frac{2\sqrt{3}\left(\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)\right)}{\sqrt{3}\sin x-\cos x}\)

Trong đó :

\(F\left(x\right)=\int\frac{2dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}-\frac{2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\right|-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}+C\)

ko biết

tick nhé

bi=B

Ta biến đổi f(x) về dạng : 

\(f\left(x\right)=\frac{\sin x.\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}-1=\frac{\cos\frac{\pi}{4}}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}-1\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx-\int dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx-x\left(1\right)\)

Để tính \(J=\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx\)

Ta có \(\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx=\sqrt{2}\int\frac{1}{\cos x.\left(\cos x-\sin x\right)}dx=\sqrt{2}\int\frac{1}{\left(1-\tan x\right)}.\frac{1}{\cos^2x}dx\)

\(=-\sqrt{2}\int\frac{d\left(1-\tan x\right)}{1-\tan x}=\sqrt{2}\ln\left|1-\tan x\right|+C\)

\(\int sin^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosx\right)dx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}sinx+C\)

\(\int cos^23xdx=\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos6x\right)dx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}sin6x+C\)

\(\int4cos^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(2+2cosx\right)dx=2x+2sinx+C\)

a₁sinx+b₁cosx=A(a₂sinx+b₂cosx)+B(a₂cosx-b₂sinx) roi the vo ,do la dung dong nhat thuc

ma ban lam cai nay lam chi ,dai hoc dau co ma

1.

\(I=\int\dfrac{cot^2x}{sin^6x}dx=\int\dfrac{cot^2x}{sin^4x}.\dfrac{1}{sin^2x}=\int cot^2x\left(1+cot^2x\right)^2.\dfrac{1}{sin^2x}dx\)

Đặt \(u=cotx\Rightarrow du=-\dfrac{1}{sin^2x}dx\)

\(I=-\int u^2\left(1+u^2\right)^2du=-\int\left(u^6+2u^4+u^2\right)du\)

\(=-\dfrac{1}{7}u^7+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{1}{3}u^3+C\)

\(=-\dfrac{1}{7}cot^7x+\dfrac{2}{5}cot^5x+\dfrac{1}{3}cot^3x+C\)

2.

\(I=\int\left(e^{sinx}+cosx\right).cosxdx=\int e^{sinx}.cosxdx+\int cos^2xdx\)

\(=\int e^{sinx}.d\left(sinx\right)+\dfrac{1}{2}\int\left(1+cos2x\right)dx\)

\(=e^{sinx}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}sin2x+C\)

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Biến đổi 

\(a_1\sin x+b_1\cos x+c_1=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C\)

Bước 2 : Khi đó :

\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C}{_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)

\(=A\int dx+B\int\frac{\left(a_2\cos_{ }x-b_2\sin x_{ }\right)dx}{_{ }a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)

\(=Ax+B\ln\left|a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right|+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)

Trong đó :

\(\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)

y′ = −sin2x.cos(cos2x)