Cho x,y,z là các số thực không âm . Tìm GTNN \(P=x^3+y^3+z^3-3xyz+4\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
cho 3 số thực x,y,z sao cho x+y+z=1 CMR
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}\left(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right)\)
VT=\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy.\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right).z+z^2-3xy\left(\text{vì }x+y+z=1\right)\)
\(=x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^3-3xy\)
\(=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\)
\(=\frac{1}{2}.\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(x^2-2xy-y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)=VP
=>dpcm
Ta có : \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)
\(=x+y+z\left(x^2+y^2+z^2+2xy+xz+yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)}{2}=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
với x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=3.Tìm GTNN của
P=\(\dfrac{x}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{32}\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=\(\frac{yz}{x^3\left(z+2y\right)}+\frac{zx}{y^3\left(x+2z\right)}+\frac{xy}{z^3\left(y+2x\right)}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\). Tìm Min:\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(b+2c\right)}\)
Auto làm nốt:3
Cho câc số thực dương x,y,z thỏa x+y+z=1 .tìm GTNN của:
P=\(\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}\)+\(\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(z+x\right)}\)+\(\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{2x+y}{8}+\frac{y+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{64}}=\frac{3x}{4}\\\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{2y+z}{8}+\frac{x+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{64}}=\frac{3y}{4}\\\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{2z+x}{8}+\frac{x+y}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{64}}=\frac{3z}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{5\left(x+y+z\right)}{8}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{5}{8}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow P_{min}=\frac{1}{8}\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=3. Tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}+\)\(\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\)
Cho ba số \(x,y,z\) không âm thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=1\)
Tìm GTNN của \(P=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn \(x+y+z=3.\).
Chứng minh rằng \(\left(x-1\right)^3+\left(y-1\right)^3+\left(z-1\right)^3\ge-\frac{3}{4}\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(z=min\left(x;y;z\right)\)
Từ giả thiết x+y+z=3 => \(3z\le x+y+z\)Do đó \(0\le z\le1\)
Đặt x=1+a; y=1+b; c=1-a-b. Do 0 =<c=<1 nên 0 =< a+b =< 1
Ta có \(\left(x-1\right)^3+\left(y-1\right)^3+\left(z-1\right)^3=a^3+b^3+\left(-a-b\right)^3=-3ab\left(a+b\right)\)
Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\left(0\le a+b\le1\right)\)
\(\Rightarrow-3ab\left(a+b\right)\ge\frac{-3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Khi đó \(x=y=\frac{3}{2};z=0\)
Cho 3 số thực x,y,z khác nhau thỏa mãn \(^{x^3+y^3+z^3=3xyz}\). Tính \(\frac{2016xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
phân tích gt sau đó suy ra x+y+x=0
từ đây tính đc x+y=? y+z=? x+z=?
ta được kết quả là'; -2006
Xét \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xy-yz+z^2\right)-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
TH1:\(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z;y+z=-x;z+x=-y\left(1\right)\)
Thay (1) vô pt cần tính:
\(\frac{2016xyz}{-z.-x.-y}=\frac{2016xyz}{-\left(xyz\right)}=-2016\)
TH2:\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
Nhân 2 vế với 2
\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2=0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2=0\)
Do VT dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-z\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-z=0\\y-z=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=y\\x=z\\y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)
Thay y,z ở pt cần tính là x
\(\Rightarrow\frac{2016x.x.x}{\left(x+x\right)\left(x+x\right)\left(x+x\right)}=\frac{2016x^3}{2x.2x.2x}=\frac{2016x^3}{8x^3}=\frac{2016}{8}=252\)
Vậy pt có thể = -2016 khi x + y + z = 0
pt có thể = 252 khi \(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz=0\)
\(\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\end{cases}}\)
TH1 : \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=-z\\x+z=-y\\y-z=-x\end{cases}}\)
Thay vào biểu thức ta có :
\(\frac{2016xyz}{\left(-z\right)\left(-x\right)\left(-y\right)}=\frac{2016xyz}{-xyz}=-2016\)
TH2 : \(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-z=0\\y-z=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=z\\y=z\end{cases}\Rightarrow}x=y=z}\)
Từ đây ta biến đổi biểu thức :
\(\frac{2016x^3}{2x\cdot2x\cdot2x}=\frac{2016x^3}{8x^3}=252\)
Vậy........
1rút gọn\(\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)biết rằng x+y+z=0
2 rút gọn các phân thức
a,\(\frac{x^3-y^3+z^3+3xyz}{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)
b,\(\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)