Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có
\(\left(n^2+n-1\right)^2\)chia hết cho 24
\(c,31,8^2-2.31,8.21,8+21,8^2\)
Bài 12 : chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
a, \(\left(n+2\right)^2-\left(n-2\right)^2\) chia hết cho 8
b, \(\left(n+7\right)^2-\left(n-5\right)^2\) chia hết cho 24
\(c,=\left(31,8-21,8\right)^2=10^2=100\\ 12,\\ a,\left(n+2\right)^2-\left(n-2\right)^2\\ =\left(n+2-n+2\right)\left(n+2+n-2\right)\\ =4\cdot2n=8n⋮8\\ b,\left(n+7\right)^2-\left(n-5\right)^2\\ =\left(n+7-n+5\right)\left(n+7+n-5\right)\\ =12\left(2n+2\right)=24\left(n+1\right)⋮24\)
Chứng minh rằng \(\left(n^2+n-1\right)^2-1\) chia hết cho 24 với mọi số nguyên n
A = (x2+x-1)2-1 = ( x2 + x -2 )( x2 + x ) = x(x+1)( x2 -1 + x -1 ) = x.( x + 1 ).[ ( x - 1 ).( x + 1 ) + x - 1 )
= x.( x + 1 ).( x - 1 ).( x + 2 ) ( Tích 4 số liên tiếp )
Mà trong đó có tích 2 số chẵn liên tiếp <=> A chia hết cho 8
trong đó có tích 3 số liên tiếp <=> A chia hết cho 3
( 3;8 ) = 1
=> A chia hết cho 8.3 = 24
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có
a) \(n^3+3n^2+2n\) chia hết cho 6
b) \(\left(n^2+n-1\right)^2-1\)chia hết cho 24
Ta có \(n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)\) là tích ba số nguyên liên tiếp. Trong hai số liên tiếp luôn có một chia hết cho 2, trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 6.
Ta có \((n^2+n-1)^2-1=(n^2+n-2)(n^2+n)=(n-1)(n+2)n(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)\) là tích bốn số nguyên liên tiếp.
Trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 3. Mặt khác trong bốn số liên tiếp phải có hai số chẵn liên tiếp. Hai số chẵn liên tiếp phải có một số chia hết cho 4. Vậy tích sẽ chia hết cho 8. Từ hai điều đó suy ra tích chia hết 3x8=24.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n
\(\left(n^2+n-1\right)^2\)chia hết cho 24
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có\(5^{n+2}+3^{n+2}-3^n-5^n\)chia hết cho 24
\(5^{n+2}+3^{n+2}-3^n-5^n=5^n\left(5^2-1\right)+3^n\left(3^2-1\right)=5^n.24+3^n.8\)
Ta có \(5^n.24⋮24\) và \(3^n.8⋮3.8=24\)
Vậy ta đc đpcm
5n+2+3n+2−3n−5n=5n(52−1)+3n(32−1)=5n.24+3n.85n+2+3n+2−3n−5n=5n(52−1)+3n(32−1)=5n.24+3n.8
Ta có 5n.24⋮245n.24⋮24 và 3n.8⋮3.8=24 vây ta CM đc cái trên
Bài 1)a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên n ta luôn có: \(\left(n^3-n\right)\)chia hết cho 6
b)Với mọi số nguyên n ta luôn có \(\left(n^5-n\right)\)chia hết cho 30
c)cho a,b,c là các số nguyên. CMR \(\left(a^3+b^3+c^3\right)\)chia hết cho 6 <=> (a+b+c) chia hết cho 6
giải câu c nha
xét hiệu:A= \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)
Ta có:a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) chia hết cho 6
tương tự :b3-b chia hết cho 6 và c3-c chia hết cho 6
\(\Rightarrow\)A chia hết cho 6
=> a3+b3+c3 -a-b-c chia hết cho 6
mà a3+b3+c3chia hết cho 6 nên a+b+c chia hết cho 6
k cho tớ xog tớ giải hai câu còn lại cho nha
a/ n3 - n = n(n+1)(n-1) đây là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
Chứng minh rằng: \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)
\(=\left(n+1\right)n\left(n+2\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Mặt khác n và n+1 và n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\forall n\left(đpcm\right)\)
Chứng minh
\(n\left(n^2-1\right)\left(n^2+6\right)\) luôn chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.
\(n\left(n^2-1\right)\left(n^2+6\right)\\=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+10\right) \\ =n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì n-2, n-1, n, n+1, n+2 là 5 số nguyên liến tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết 3, 1 số chia hết 5
Mà (2,3,5)=1\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3.5=30\)
Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liến tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết 3
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\Rightarrow10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3.10=30\)
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮30\)
Vậy ...
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) chia hết cho 2
Đặt \(A=\left(n+2012^{2013}\right)+\left(n+2013^{2012}\right)\)
\(A=2n+\left(2012^4\right)^{503}.2012+\left(2013^4\right)^{503}\)
\(A=2n+\left(...6\right)+\left(...1\right)\)
Ta có : 2n là số chẵn
\(2012^{2013}\) là số chẵn
\(2013^{2012}\) là số lẻ
\(=>A=2n+2012^{2013}+2013^{2012}\) là số lẻ
Vì A là số lẻ => \(\left(n+2013^{2012}\right);\left(n+2012^{2013}\right)\) sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ
=> \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) là số chẵn nên chia hết cho 2 ( đpcm )