Bạn tự vẽ hình nhé

a,Kẻ BK vuông góc với AC, đặt BK = h

tam giác ABK có K vuông => sin A = h/c => a/sin A = ac/h (1)

tam giác BKC có K vuông => sin C = h/a => c/sin C = ac/h (2)

Từ (1) và (2) => a/sin A = c/sin C

CMTT có b/sinB = c/sin C

=> dpcm

b, có S_ABC = (h.b)/2

mà h = a.sinC \(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{a.sinC.b}{2}\) = \(\dfrac{1}{2}a.b.sinC\)

CMTT có \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}a.c.sinB=\dfrac{1}{2}b.c.sinA\)

=> đpcm

Lời giải:

Kéo dài $OA$ cắt $(O)$ tại $D$

Do $AD$ là đường kính nên $ABD$ vuông tại $B$

\(\Rightarrow \sin \widehat{BDA}=\frac{BA}{AD}=\frac{c}{2R}\)

Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=\widehat{C}\) (cùng chắn cung AB)

Do đó \(\sin C=\sin \widehat{BCA}=\frac{c}{2R}\Leftrightarrow \frac{c}{\sin C}=2R\)

Hoàn toàn tương tự, kẻ đường kính từ B,C ta thu được:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\) (đpcm)

Kẻ AH⊥BC tại H, BK⊥AC tại K

Xét ΔAHB vuông tại H có 

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AH}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AH}{AC}\)

Ta có: \(\dfrac{\sin\widehat{B}}{\sin\widehat{C}}=\dfrac{AH}{AB}\cdot\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}\)(1)

Xét ΔABK vuông tại K có 

\(\sin\widehat{A}=\dfrac{BK}{AB}\)

Xét ΔBCK vuông tại K có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{BK}{BC}\)

Ta có: \(\dfrac{\sin\widehat{A}}{\sin\widehat{C}}=\dfrac{BK}{AB}\cdot\dfrac{BC}{BK}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{a}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{b}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}\)

đây nha bn : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/639032.html

bạn áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông nha

Định lý sin đã có sẵn cần chứng minh chi nữa :))

bài này mk làm rồi ; giờ lm biến chép lại . nên bn xem trong này nha .

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/639032.html

1.

\(sinA+sinB-sinC=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-sin\left(A+B\right)\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A+B}{2}\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.\left(cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right)\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.2sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}\)

\(=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}\)

Sao t lại đc như này v, ai check hộ phát

Rối hình đừng hỏi, vì mình vẽ hình ra nháp nó đã rối sẵn rồi :)

Kẻ đường kính AD, BE, CF

\(\Delta ABD\) có: \(\hat{ABD}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\)\(\sin\hat{ADB}\)\(=\dfrac{AB}{AD}\)(tỉ số lượng giác) mà \(\hat{ACB}=\hat{ADB}\)(cùng chắn \(\stackrel\frown{AB}\)) \(\Rightarrow\)\(\sin\hat{ACB}\)\(=\dfrac{AB}{AD}\)\(\Rightarrow2R=\)\(AB\over\sin\hat{ACB}\)

Chứng minh tương tự với \(\Delta BCE,\Delta CAF\)\(\Rightarrow2R=\)\(BC\over\sin\hat{BAC}\)\(=\)\(AC\over\sin\hat{ABC}\)

Từ 2 điều trên ta được điều phải chứng minh

b, Ta có: \(\hat{ACD}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC\perp CD\\AC\perp BK\left(gt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\)BK//CD\(\Leftrightarrow\)BH//CD

Chứng minh tương tự ta có: CH // BD (cùng vuông góc với AB)

Tứ giác BHCD có: BH // CD, CH // BD (cmt) nên là hình bình hành có 2 đường chéo HD và BC cắt nhau tại trung điểm I của BC nên H, I, D thẳng hàng

\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}=\dfrac{a}{bc}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}=\dfrac{a}{bc}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=2a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\) Tam giác vuông tại A theo Pitago đảo