Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC\Rightarrow BC=\frac{AB^2}{BH}=\frac{15^2}{9}=25$ (cm) 

Áp dụng định lý Pitago:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$ (cm) 

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$ (cm) 

b. 

$BM=BC:2=25:2=12,5$ (cm) 

$HM=BM-BH=12,5-9=3,5$ (cm) 

$S_{AHM}=\frac{AH.HM}{2}=\frac{12.3,5}{2}=21$ (cm²)

Hình vẽ:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=4,5^2+6^2=7,5^2\)

=>\(BC=\sqrt{7,5^2}=7,5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot7,5=4,5\cdot6=27\)

=>\(AH=\dfrac{27}{7,5}=3,6\left(cm\right)\)

b: Gọi M là trung điểm của HC

Vì ΔCEH vuông tại E

nên ΔCEH nội tiếp đường tròn đường kính HC

=>ΔCEH nội tiếp (M)

=>ME=MH=MC

Vì ME=MH

nên \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)

mà \(\widehat{MHE}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\widehat{MEH}=\widehat{ABC}\)

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{DAH}=\widehat{DEH}\)

=>\(\widehat{DEH}=\widehat{HAB}\)

\(\widehat{MED}=\widehat{MEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0\)

=>DE là tiếp tuyến của (M)(ĐPCM)

c: Vì ADHE là hình chữ nhật

nên AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AH và DE

Xét ΔHAC có

I,M lần lượt là trung điểm của HA,HC

=>IM là đường trung bình của ΔHAC

=>\(IM=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)

a: ΔABC cân tại A có AH là phân giác

nên H là trung điểm của BC

ΔABC cân tại A có AH là trung tuyến

nên AH vuông góc BC

b: BH=CH=12/2=6cm

AH=căn AB^2-AH^2=8cm

c: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAEH vuông tại E có

AH chung

góc DAH=góc EAH

=>ΔADH=ΔAEH

=>AD=AE và HD=HE

=>ΔHDE cân tại H

d: Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC

a, Ta có ∆ABC cân ở A(gt)

AH\(\perp\) BC=>AH là đường cao

(1)=>AH đồng thời là trung tuyến=>HB=HC

(2)=>AH đồng thời là phân giác=>góc BAH=góc CAH

b, Áp dụng định lí pyta go cho ∆ABH ta có

AB²=AH²+BH² =>5²=4²+HB²=>HB=√5²--4²=3

d, Xét ∆DHB và ∆EHC có

Góc HDB=góc HEC =90°(HD\(\perp\) AB, HE vuông góc ACgt)

Góc B=góc C ( tam giác ABC cân tai A gt)

HB =HC (cmt)

=> ∆DHB=∆EHC(ch-cgv)=>HD=HE=>∆HDE cân tại H

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\BH\cdot BC=AB^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7.2\left(cm\right)\\BH=\dfrac{9^2}{15}=5.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b:

ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(HD\cdot AB=HA\cdot HB\)

ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(HE\cdot AC=HA\cdot HC\)

 \(HD\cdot AB+HE\cdot AC\)

\(=HA\cdot HB+HA\cdot HC=HA\cdot\left(HB+HC\right)\)

\(=HA\cdot BC=AB\cdot AC\)

c: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên AM=MB=MC

\(\widehat{IEA}+\widehat{IAE}=\widehat{DEA}+\widehat{IAC}\)

\(=\widehat{DHA}+\widehat{MCA}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>AM vuông góc DE tại I

ΔADE vuông tại A có AI là đường cao

nên \(\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AD^2}\)