Tìm số nguyên tố p thỏa mãn điều sau: Nếu p và p^2 +2 là 2 số nguyên tố thì p^3 +2 cũng là số nguyên tố
chứng minh rằng nếu p,q là 2 số nguyên tố thỏa mãn p^2-q^2=p-3p+2 thì p^2+q^2 cũng là số nguyên tố
chứng minh rằng nếu p,q là 2 số nguyên tố thỏa mãn p^2-q^2=p-3p+2 thì p^2+q^2 cũng là số nguyên tố
chứng minh rằng nếu p,q là 2 số nguyên tố thỏa mãn p^2-q^2=p-3p+2 thì p^2+q^2 cũng là số nguyên tố
chứng minh rằng nếu p,q là 2 số nguyên tố thỏa mãn p^2-q^2=p-3p+2 thì p^2+q^2 cũng là số nguyên tố
Chứng minh rằng Nếu p và q là 2 số nguyên tố thỏa mãn p^2-q^2=p-3q+1 thì p2+q2 cũng là số nguyên tố
Từ: \(p^2-q^2=p-3q+1\)\(\Rightarrow p^2-p=q^2-3q+1\Rightarrow p\left(p-1\right)=q\left(q-1\right)-2q+1\)(1)
Ta thấy p(p-1) và q(q-1) luôn chẵn; Nên Vế trái của (1) chẵn; Vế phải của 1 luôn lẻ với mọi p; q
Nên không có p; q nguyên nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
Chứng minh rằng Nếu p và q là 2 số nguyên tố thỏa mãn p^2-q^2=p-3q+1 thì p2+q2 cũng là số nguyên tố
p(p-1)=(q-1)(q-2) (*)
=> p | q-1 hoặc p | q-2
do p nguyên tố, (q-1;q-2)=1
1.Nếu p|q-1 thì p <= q-1
Từ (*) suy ra p-1>=q-2
=> p>=q-1
Do đó p=q-1
Mà p,q nguyên tố nên p=2,q=3
Khi đó p^2+q^2=13 là số nguyên tố
2.Xét p|q-2
Từ (*) => q-2 > 0
Lập luận tương tự TH1 dẫn tới mâu thuẫn
1. Tìm x;y ∈ N* để \(x^4+4y^4\) là số nguyên tố.
2. Cho n ∈ N* CMR: \(n^4+4^n\) là hợp số với mọi n>1.
3. Cho biết p là số nguyên tố thỏa mãn: \(p^3-6\) và \(2p^3+5\) là các số nguyên tố. CMR: \(p^2+10\) cũng là số nguyên tố.
4. Tìm tất cả các số nguyên tố có 3 chữ số sao cho nếu ta thay đổi vị trí bất kì ta vẫn thu được số nguyên tố.
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
Tìm số nguyên tố p sao cho p^2+1 và p^4+1 cũng là số nguyên tố. Trả lời: Số nguyên tố thỏa mãn là p =
a)chứng minh rằng nếu p và p^2+8 là các số nguyên tố thì p^2+2 cũng là số nguyên tố
b)Nếu p và 8p^2+1 là các số nguyên tố thì 2p+1 cũng là số nguyên tố