Chắc là bạn vẽ hình được!!

a)  Xét 2 tam giác AMH và NMB có:

            AM = MN  (giả thiết)

         \(\widehat{AMH}=\widehat{BMN}\) (hai góc đối đỉnh)

         BM = MH  (giả thiết)

=> \(\Delta\)AMH = \(\Delta\)NMB (c.g.c)

=> \(\widehat{MBN}=\widehat{MHA}=90^o\)(hai góc tương ứng) => \(NB⊥BC\)

b) Vì \(\Delta\)ABC cân tại A => \(\widehat{ABC}< 90^o\), mà \(\widehat{MBN}=90^o\) (cmt)

=> \(\widehat{ABC}< \widehat{MBN}\)

Xét \(\Delta ABN\), đường trung tuyến BM có \(\widehat{ABC}< \widehat{MBN}\)   => BN < BA.

c) Xét tứ giác ABNH có:  BM = MH (giả thiết)

                                     MN = AM (giả thiết)

    => tứ giác ABNH là hình bình hành (theo DHNB)

    => AM là tia phân giác \(\widehat{BAH}\)(tính chất của hình bình hành)

    => \(\widehat{BAM}=\widehat{MAH}\)

d \(\Delta ABC\)cân tại A (giả thiết), AH là đường cao => \(AH⊥BC\) (1)=> AH cũng là đường trung tuyến => BH = HC.

 Xét \(\Delta BNC\)vuông tại B có, đường trung tuyến BI (giả thiết)

   => BI = IC (t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông)

=> \(\Delta BIC\)cân tại I, mà BH = HC (cmt) => IH là đường trung tuyến của \(\Delta BIC\)cân

=> IH cũng là đường cao của \(\Delta BIC\)=> \(IH⊥BC\)(2)

Từ (1) và (2) => A, H, I thẳng hàng.

P/s: mình mất 45 phút để viết hết toàn bộ bài này!!

Tự vẽ hình nha :

a) 

Xét tam giác AMH và tam giác NMB có :

AM = NM

BM = HM                           => \(\Delta AMH=\Delta NMB\)   (1)

Góc BMN = góc HMA

b) Từ 1 , ta suy ra :

AH = BN

Xét tam giác vuông AHB có AB là cạnh huyền 

=> AH < AB

Đồng thời BN < AB (Điều phải chứng minh)

c) Từ BN < AB

=> Góc BAM < góc BNA (Quan hệ góc và cạnh)

Mặt khác góc BNA = góc MAH (từ 1)

=> Góc BAM = Góc MAH

d) Nối BI lại 

Vì tam giác BNC vuông nên 

Với BI là đường trung tuyến thì 

BI = NI = IC

Xét tam giác ABI và tam giác ACI có :

BI = CI

AB = AC    => \(\Delta ABI=\Delta ACI\)

AI chung 

=> Góc BAI = Góc CAI

=> AI là đường phân giác của góc BAC  (a)

Mặt khác , tam giác ABC cân tại A và AH là đường cao 

=> AH cũng là đường phân giác  (b) 

Từ (a) và (b) 

=> A , H , I thẳng hàng

a) Xét tam giác AMH và Tam giác NMB có

MB=MH ( M là TĐ của BH )

góc M1= góc M2 (đối đỉnh)

MN=MH (M là TĐ của AN)

Vậy tam giác AMH=NMB (c-g-c)

\(\Rightarrow\)góc AHM= góc NBM

Mà góc AHM=90 độ\(\Rightarrow\)góc NBM=90 độ \(\Rightarrow\)NB vuông với BC

b)Xét tam giác ABH vuông tai H có AH<BA

Mà AH=BN(tam giác AMH=NMB)

\(\Rightarrow\)BN<BA

c) Xét \(\Delta ABH\)có BN<BA (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{A2}< \widehat{N1}\)

Mà \(\widehat{A1}=\widehat{N1}\left(\Delta AMH=\Delta NMB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A2}< \widehat{A1}\Rightarrow\widehat{BAM}< \widehat{MAH}\)

d) để mk nghĩ

Bạn tự vẽ hình nhé!

a) + b) Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta CFE\)có: 

\(AE=EC\)( E là trung điểm của AC )

\(DE=EF\)( E là trung điểm của DF )

\(\widehat{AED}=\widehat{CEF}\)( 2 góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta CFE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AD=CF\)( 2 cạnh tương ứng )

mà \(AD=DB\)( D là trung điểm của AB )

nên \(DB=CF\)

c) Ta có: \(\widehat{EAD}=\widehat{ECF}\left(\Delta EDA=\Delta EFC\right)\)

mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

nên \(AD//CF,AB//CF\)

d) Xét \(\Delta BDC\)và \(\Delta FCD\)có: 

\(BD=FC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BDC}=\widehat{FCD}\)( 2 góc so le trong, \(AD//CF\))

CD là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BDC=\Delta FCD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{FDC}\)( 2 góc tương ứng )

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow DE//BC\)

Chúc bạn học tốt !!!

a, Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CDE\) có:

\(AE=CE\left(E-là-tr.điểm-của-AC\right)\)

\(\widehat{A1}=\widehat{A2}\left(đ.đỉnh\right)\)

\(DE=FE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta CFE\left(c-g-c\right)\left(1\right)\)

b, Từ \(\left(1\right)\Rightarrow AD=CF\left(2c.t.ứ\right)\left(2\right)\)

Mà: \(AD=BD\left(D-là-tr.điểm-của-AB\right)\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow DB=CF\)

c, Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\widehat{A1}=\widehat{C1}\)

Mà 2 góc đang ở vị trí so le trong nên:

\(\Rightarrow AB//CF\)

d, Xét \(\Delta ABC\) có:

\(D\) là trung điểm của \(AB\)

\(E\) là trung điểm của \(AC\)

\(\Rightarrow DE//BC\)

a  ) Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta CFE\)có :

AE = CE ( E là trung điểm AC )

\(\widehat{AED}=\widehat{CEF}\)( 2 góc đôi đỉnh )

DE = FE ( E là trung điểm EF )

Suy ra \(\Delta ADE=\Delta CFE\left(c.g.c\right)\)

b ) Theo câu a ) ta có : \(\Delta ADE=\Delta CFE\)

\(\Rightarrow AD=CF\)( 2 cạnh tương ứng )

Mà \(AD=DB\) ( vì D là trung điểm AB )

\(\Rightarrow DB=CF\)

c ) Theo câu b ) ta có : \(\Delta ADE=\Delta CFE\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{CFE}\)( 2 góc tương ứng )
Mà 2 góc nằm ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow AD//CF\)

Hay \(AB//CF\)

d ) Vì AB // CF ( cmt)

\(\Rightarrow BD//CF\)

\(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{FCD}\) ( vì 2 góc so le trong )

Xét \(\Delta DBC\)và \(\Delta CFD\)có :

\(DB=CF\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BDC}=\widehat{FCD}\left(cmt\right)\)

DC : cạnh chung 

Suy ra \(\Delta DBC=\Delta CFD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DCB}=\widehat{CDF}\) ( 2 góc tương ứng )
Mà 2 góc nằm ở vị trí so le trong 

\(\Rightarrow DF//BC\)

Hay DE // BC ( đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CDM\) có:

AM = MC (gt)

góc AMB = góc DMC ( vì đối đỉnh)

MD = MB (gt)

Do đó: \(\Delta ABM\) = \(\Delta CDM\) (c.g.c)

b) Ta có: \(\Delta ABM=\Delta CDM\left(cmt\right)\) 

=> góc ABM = góc MDC mà 2 góc này ở vị trí slt nên AB//CD.

a) Để chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AH || BE và AH = BE.

Vì ΔABC cân tại A, nên đường cao AH là đường trung trực của BC. Do đó, AH vuông góc với BC.

Vì E là điểm đối xứng của H qua M, nên EM = MH và góc EMH = góc HME = 90 độ.

Do đó, ta có:

- AH || BE (vì AH và BE đều vuông góc với BC).

- AH = EM = BE (vì EM = MH và E là điểm đối xứng của H qua M).

Vậy tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

b) Gọi F là điểm đối xứng của A qua BC. Ta cần chứng minh tứ giác ABFC là hình thoi.

Vì F là điểm đối xứng của A qua BC, nên AF = AC và góc AFC = góc ACB.

Vì ΔABC cân tại A, nên góc ACB = góc ABC.

Do đó, ta có:

- AF = AC (vì F là điểm đối xứng của A qua BC).

- góc AFC = góc ACB = góc ABC.

Vậy tứ giác ABFC là hình thoi.

c) Gọi K là giao điểm của FM và BC. Ta cần chứng minh 4HK = CK.

Vì M là trung điểm của AB, nên MK || AC và MK = 1/2 AC.

Vì E là điểm đối xứng của H qua M, nên EM = MH.

Do đó, ta có:

- HK = EM (vì HK || EM và HK = EM).

- CK = AC (vì CK là đường chéo của hình chữ nhật AHBE).

Vậy ta có:

4HK = 4EM = 2EM + 2EM = 2EM + 2MH = EH + CH = CK.

Vậy 4HK = CK.