Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A=4 \sqrt{x^{2}+1}-2 \sqrt{16\left(x^{2}+1\right)}+5 \sqrt{25\left(x^{2}+1\right)} \text {; }$
b) $B=\dfrac{2}{x+y} \sqrt{\dfrac{3(x+y)^{2}}{4}}$ với $x+y>0$;
c) $C=\dfrac{3}{3 a-1} \sqrt{5 a\left(1-6 a+a^{2}\right)}$ với $a>\frac{1}{3}$.
a) \(A=4\sqrt{x^2+1}-2\sqrt{16\left(x^2+1\right)}+5\sqrt{25\left(x^2+1\right).}\)
\(=4\sqrt{x^2+1}-2.4\sqrt{x^2+1}+5.5\sqrt{x^2+1}\)
\(=4\sqrt{x^2+1}-8\sqrt{x^2+1}+25\sqrt{x^2+1}\)
\(=\left(4-8+25\right)\sqrt{x^2+1}\)
\(=21\sqrt{x^2+1}\)
b) \(B=\frac{2}{x+y}\sqrt{\frac{3\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(B=\frac{2}{x+y}.\frac{\sqrt{3}\left(x+y\right)}{2}\)
\(B=\frac{\sqrt{3}\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(B=\sqrt{3}\)
Dạ đậy ạ,mong dc gp
Cho hai số thực a, b thỏa mãn: $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=2 a^{4}-b^{4}+6 \mathrm{ab}+8 a^{2}-10 a-2 b+2026$.
Ta có: \(\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-\sqrt{a^2+9}\right)\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{-9\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)
\(\Rightarrow b+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}-a\)
Tương tự chỉ ra được: \(a+\sqrt{a^2+9}=\sqrt{b^2+9}-b\)
Cộng vế 2 PT trên lại ta được:
\(a+b+\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}-a-b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=0\Rightarrow a=-b\)
Thay vào M ta được:
\(M=2a^4-a^4-6a^2+8a^2-10a+2a+2026\)
\(M=a^4+2a^2-8a+2026\)
\(M=\left(a^4+2a^2-8a+5\right)+2021\)
\(M=\left[\left(a^4-a^3\right)+\left(a^3-a^2\right)+\left(3a^2-3a\right)-\left(5a-5\right)\right]+2021\)
\(M=\left(a-1\right)\left(a^3+a^2+3a-5\right)+2021\)
\(M=\left(a-1\right)^2\left(a^2+2a+5\right)+2021\)\(\ge0+2021=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = 1 => b = -1
Vậy Min(M) = 2021 khi a = 1 và b = -1
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=5 \\ 2 x-y=7\end{array}\right.$
b) Cho hàm số: $y=-\dfrac{1}{4} x^{2}$ có đồ thị $(\mathrm{P})$ và đường thẳng $(\mathrm{d})$ : $y=\dfrac{1}{2} x-2$. Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ giao điểm của $(\mathrm{P})$ với đường thẳng $(\mathrm{d})$ bằng phép tính.
a)\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\2x-y=7\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}-3y=3\\2x-y=7\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}y=-1\\2x-\left(-1\right)=7\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=3\end{matrix}\right.\)
b)\(-\dfrac{1}{4}x^2=\dfrac{1}{2}x-2\\ \Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x+2=0\\ \left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=-4\end{matrix}\right.\\ \left[{}\begin{matrix}y_1=-1\\y_2=-4\end{matrix}\right.\)
(2,5 điểm)
1) Cho hai đường thẳng $y=-x+4\,\left(d_1\right)$ và $y=(\mathrm{m}-2) x+4\,\left(d_2\right)$.
a) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của $\mathrm{m}$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.
b) Gọi giao điểm của $\left(d_1\right)$ với $\left(d_2\right)$ là $P$, giao điểm của $\left(d_1\right)$ với trục $O x$ là $A$. Tìm $\mathrm{m}$ để $\left(d_2\right)$ cắt trục $O x$ tại $B$ sao cho $S_{\triangle P A B}=6$.
2) Một máy bay đang bay ở độ cao $10 \mathrm{~km}$, cách sân bay $100 \mathrm{~km}$ và bắt đầu hạ cánh. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay là một đường thẳng tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Tính góc nghiêng đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhât).
Cho tam gúac ABC. Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP cắt CA, CB lần lượt tại M,N.
a/ C/m: \( \frac{\mathrm AM}{\mathrm BN } = \left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)
b/ \(\frac{\mathrm AM}{\mathrm AC } + \frac{\mathrm BN}{\mathrm BC } +\frac{\mathrm CP^2}{\mathrm AB.AC } =1\)
Cho các biểu thức $\mathrm{A}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}$ và $\mathrm{B}=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}+1}$ với $\mathrm{x}>0$
a) Tính giá trị của biểu thức A khi $\mathrm{x}=81$.
b) Rút gọn biểu thức $\mathrm{P}=\mathrm{B}: \mathrm{A}$.
c) So sánh $P$ với $\frac{1}{2}$.
a, Ta có : \(x=81\Rightarrow\sqrt{x}=9\)
Thay \(\sqrt{x}=9\)vào biểu thức A ta được :
\(A=\frac{2}{9+1}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)
b, Ta có : \(P=\frac{B}{A}\)hay\(P=\frac{\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}}{\frac{2}{\sqrt{x}+1}}\)
\(=\frac{1+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+1}{2}=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\)
c, Ta có \(\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)mà \(\sqrt{x}< \sqrt{x}+1\)
nên \(P>\frac{1}{2}\)
a) \(A=\frac{2}{\sqrt{x}+1}=\frac{2}{\sqrt{81}+1}=\frac{2}{9+1}=\frac{1}{5}\)
b) \(B=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{1+\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{B}{A}=\frac{1}{\sqrt{x}}\div\frac{2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\)
c) Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}\)
=> P>1/2
a)Thay vào biều thức , ta được
Vậy thì
b)
c) Ta có
Ta có nên
Tính giá trí của biểu thức sau theo cách hợp lí nhất.
a) $\mathrm{A}=\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{6}{7}+\dfrac{3}{7}: \dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{7}: 1 \dfrac{2}{3}$;
b) $\mathrm{B}=\left(-13 \cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{-2}{9}: 2 \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}. \dfrac{11}{9}\right) \cdot 2 \dfrac{1}{2}$;
c) $\mathrm{C}=\left(\dfrac{-4}{5}+\dfrac{5}{7}\right): \dfrac{2}{3}+\left(\dfrac{-1}{5}+\dfrac{2}{7}\right): \dfrac{2}{3}$;
d) $\mathrm{D}=\dfrac{4}{9}:\left(\dfrac{1}{15}-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{4}{9}:\left(\dfrac{1}{11}-\dfrac{5}{22}\right)$.
A= 3/5.6/7+3/5.3/7-3/5.2/7
A= 3/5. (6/7+3/7-2/7) = 3/5
B= (-13.2/5+-2/9.2/5+2/5.11/9).5/2
B= (-13-2/9+11/9).2/5.5/2
B= -13+(11/9-2/9)= -12
C= (-4/5+5/7).3/2+(-1/5+2/7).3/2
C= (-4/5+5/7+-1/5+2/7).3/2
C= ((-4/5+-1/5)+(5/7+2/7)).3/2
C= 0
D= 4/9.-5/3+4/9.-22/3
D= 4/9.110/9
D= 440/81
rút gọn A :
A=(\(\frac{\mathrm 2+x }{\mathrm 2- x}\)-\(\frac{\mathrm 4x^2}{\mathrm x^2 -4}\)-\(\frac{\mathrm 2-x}{\mathrm 2+x}\)):(\(\frac{\mathrm x^2-3x}{\mathrm 2x^2-x^3}\))
\(A=\left(\frac{x+2}{2-x}-\frac{4x^2}{x^2-4}-\frac{2-x}{x+2}\right):\left(\frac{x^2-3x}{2x^2-x^3}\right)\)
\(A=\left[\frac{\left(x+2\right)^2}{4-x^2}+\frac{4x^2}{4-x^2}-\frac{\left(2-x\right)^2}{4-x^2}\right]:\left[\frac{x\left(x-3\right)}{x^2.\left(2-x\right)}\right]\)
\(A=\left[\frac{x^2+4x+4+4x^2-4+4x-x^2}{4-x^2}\right]:\left[\frac{x-3}{x\left(2-x\right)}\right]\)
\(A=\frac{4x^2+8x}{4-x^2}:\frac{x-3}{x\left(2-x\right)}\)
\(A=\frac{4x\left(x+2\right)}{\left(2-x\right)\left(x+2\right)}.\frac{x\left(2-x\right)}{x-3}\)
\(A=\frac{4x^2}{x-3}\)
Tìm số tự nhiên n để phép chia sau thực hiện được :
\(\mathrm{x}^{\mathrm{n}+3}\mathrm{y}^{4}:\mathrm{x}^{7}\mathrm{y}^{\mathrm{n}}\)
Đề là:
\(x^{n+3}y^4:x^7y^n\) hay \(x^{n+3}y^4:\left(x^7y^n\right)\)vậy bạn?
