1: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{B}\) chung

Do đó:ΔHBA\(\sim\)ΔABC

2: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=7.2\left(cm\right)\)

a, Xét Δ ABC và Δ CBH

Ta có : \(\widehat{ACB}=\widehat{CHB}=90^o\)

            \(\widehat{ABC}=\widehat{CBH}\) (góc chung)

=> Δ ABC ∾ Δ CBH (g.g)

b, Ta có : Δ ABC ∾ Δ CBH (cmt)

=> \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BC}{BH}\)

=> \(BC^2=AB.BH\)

c,

Ta có : AB = AH + HB

=> AB = 4 + 9

=> AB = 13 (cm)

Ta có : \(BC^2=AB.BH\left(cmt\right)\)

=> \(BC^2=13.9\)

=> \(BC^2=117\)

=> BC = 10,8 (cm)

Xét Δ ABC

Ta có : \(AB^2=AC^2+BC^2\)

=> \(13^2=AC^2+10,8^2\)

=> \(169=AC^2+116,64\)

=> \(169-116,64=AC^2\)

=> \(52,36=AC^2\)

=> AC = 7,2 (cm)

Xét Δ ABC vuông tại C

=> \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{AC.BC}{2}\)

=> \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{7,2.10,8}{2}\)

=> \(S_{\Delta ABC}=38,88\left(cm^2\right)\)

a, Xét Δ ABC và Δ CBH

Ta có : 

             (góc chung)

=> Δ ABC ∾ Δ CBH (g.g)

b, Ta có : Δ ABC ∾ Δ CBH (cmt)

=> ABCB=BCBHABCB=BCBH

=> BC2=AB.BH

c,

Ta có : AB = AH + HB

=> AB = 4 + 9

=> AB = 13 (cm)

Ta có : BC2=AB.BH(cmt)BC2=AB.BH(cmt)

=> BC2=13.9BC2=13.9

=> BC2=117BC2=117

=> BC = 10,8 (cm)

Xét Δ ABC

Ta có : AB2=AC2+BC2AB2=AC2+BC2

=> 132=AC2+10,82132=AC2+10,82

=> 169=AC2+116,64169=AC2+116,64

=> 169−116,64=SΔABC=7,2.10,82SΔABC=7,2.10,82

=> SΔABC=38,88(cm2)

a) Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có 

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHBA(g-g)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=9^2+12^2=225\)

hay BC=15(cm)

Vậy: BC=15cm

c. Ta có: AD là phân giác góc A(gt)

⇒ AB/AC=DB/DC (tính chất phân giác trong tam giác)

⇔ 9/12=DB/(15-DB) ⇔ 12DB= 9(15-BD) =135-9BD

⇔ 21BD=135 ⇔ BD=6.4cm 

⇒ CD= BC-BD= 15-6.4 =8.6cm

Xét ΔHAB và ΔHAC

. AHB=AHC=90

. ACH=BAH (cùng phụ góc B)

⇒ ΔHAB~ΔHAC(g.g) ⇒ S_ΔHAB/S_HAC= (AB/AC)²= (9/12)² =9/16

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\BH\cdot BC=AB^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7.2\left(cm\right)\\BH=\dfrac{9^2}{15}=5.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b:

ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(HD\cdot AB=HA\cdot HB\)

ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(HE\cdot AC=HA\cdot HC\)

 \(HD\cdot AB+HE\cdot AC\)

\(=HA\cdot HB+HA\cdot HC=HA\cdot\left(HB+HC\right)\)

\(=HA\cdot BC=AB\cdot AC\)

c: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên AM=MB=MC

\(\widehat{IEA}+\widehat{IAE}=\widehat{DEA}+\widehat{IAC}\)

\(=\widehat{DHA}+\widehat{MCA}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>AM vuông góc DE tại I

ΔADE vuông tại A có AI là đường cao

nên \(\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AD^2}\)

Bạn chỉ cần áp dụng hệ thức lượng là đc rồi o0o

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Chứng minh rằng 1/AH^2=1/AB^2+1/ac^2

a/

\(AH^2=HB.HC\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{4.9}=6cm\)

\(\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\)

b/

Xét tg vuông AHB có

\(HB^2=BD.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông AHC có

\(HC^2=CE.AC\) (lý do như trên)

\(CE.BD.AC.AB=HB^2.HC^2=\left(HB.HC\right)^2\)

Mà \(HB.HC=AH^2\) (cmt)

\(\Rightarrow CE.BD.AC.AB=AH^4\)

c/

\(HD\perp AB;AC\perp AB\) => HD//AC => HD//AE

\(HE\perp AC;AB\perp AC\) => HE//AB => HE//AD

=> ADHE là hình bình hành mà \(\widehat{A}=90^o\) => ADHE là HCN

Xét tg vuông ADH và tg vuông ADE có

HD = AE (cạnh đối HCN)

AD chung

=> tg ADH = tg ADE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{AHD}\) 

\(\widehat{AHD}=\widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\) ) 

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{B}\) (1)

\(\widehat{C}+\widehat{B}=90^o\) (2)

\(\widehat{IAE}+\widehat{AED}=90^o\Rightarrow\widehat{IAE}+\widehat{B}=90^o\)  (3)

Từ (2) và (3) => \(\widehat{IAE}=\widehat{C}\) => tg AIC cân tại I => IA=IC

Ta có

\(\widehat{IAE}+\widehat{BAI}=\widehat{A}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}+\widehat{BAI}=90^o\) mà \(\widehat{C}+\widehat{B}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{B}\) => tg ABI cân tại I => IA=IB

Mà IA= IC (cmt)

=> IB=IC => I là trung điểm của BC

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

góc B chung

Do đó ΔHBA\(\sim\)ΔABC

b: \(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

hay AD/AC=AE/AB

=>ΔADE\(\sim\)ΔACB

a: BC=căn 9^2+12^2=15cm

AD là phân giác

=>BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=15/7

=>BD=45/7cm; CD=60/7cm

AH=9*12/15=108/15=7,2cm

b: Xét ΔHAC vuông tại H và ΔMEA vuông tại M có

góc HCA=góc MAE

=>ΔHAC đồng dạng với ΔMEA

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=9^2+12^2=225\)

hay BC=15cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC,ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=7,2\left(cm\right)\\BH=5,4\left(cm\right)\\CH=9,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(HB\cdot HC=AH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AE\cdot AB=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HB\cdot HC=AE\cdot AB\)